Matemática é uma área do conhecimento que inclui os tópicos dos números, fórmulas e estruturas relacionadas, formas e os espaços em que estão contidos, e quantidades e suas mudanças. Esses tópicos são representados na matemática moderna com as principais subdisciplinas da teoria dos números, álgebra, geometria e análise, respectivamente. No entanto, não há consenso entre os matemáticos sobre uma definição comum para a disciplina acadêmica que estudam.
Grande parte da atividade matemática envolve a descoberta de propriedades de objetos abstratos e o uso da razão pura para prová-las. Estes objetos consistem em abstrações da natureza ou segundo a matemática moderna entidades que são estipuladas por certas propriedades, chamadas axiomas. Uma prova matemática consiste em uma sucessão de aplicações de regras dedutivas a resultados já estabelecidos. Estes resultados incluem teoremas previamente provados, axiomas e no caso de abstração da natureza algumas propriedades básicas que são consideradas pontos de partida da teoria em consideração. (at ResearchGate )
A matemática é essencial nas ciências naturais, engenharia, medicina, finanças, ciências da computação e ciências sociais. Embora seja amplamente utilizada para modelar fenômenos, as verdades fundamentais da matemática são independentes de qualquer experimentação científica. Algumas áreas da matemática, como estatística e teoria dos jogos, são desenvolvidas em estreita correlação com suas aplicações e, portanto, são frequentemente agrupadas na matemática aplicada. Outros campos de estudo são desenvolvidos independentemente de qualquer aplicação (e por este motivo são chamados de matemática pura), mas muitas vezes encontram aplicações práticas posteriormente.
Historicamente, o conceito de prova e o rigor matemático associado apareceram pela primeira vez na matemática grega, mais notavelmente na obra Os Elementos de Euclides. Desde o seu início, a matemática foi dividida principalmente em geometria e aritmética (a manipulação de números naturais e frações), até os séculos XVI e XVII, quando a álgebra e o cálculo infinitesimal foram introduzidos como novos campos. Desde então, a interação entre inovações matemáticas e descobertas científicas levou a um aumento correlacionado no desenvolvimento de ambas. No final do século XIX, a crise fundamental da matemática levou à sistematização do método axiomático, que anunciou um aumento dramático no número de áreas matemáticas e seus campos de aplicação.
Etimologia A palavra matemática vem do grego antigo máthēma e significa "aquilo que se aprende", "aquilo que se conhece", assim como "estudo" e "ciência". A palavra passou a ter o significado mais restrito e técnico de "estudo matemático" mesmo no período clássico. Seu adjetivo é mathēmatikós (), que significa "relacionado à aprendizagem" ou "estudioso", que também passou a significar "matemático". Em particular, mathēmatikḗ tékhnē (; ) significava "a arte matemática".
Da mesma maneira, uma das duas principais escolas de pensamento do pitagorismo era conhecida em grego antigo como mathēmatikoi (μαθηματικοί) que na época significava "alunos" ao invés do significado moderno dado ao termo "matemáticos". Os pitagóricos foram provavelmente os primeiros a restringir o uso da palavra apenas ao estudo da aritmética e da geometria. Na época de Aristóteles (384-322 a.C.) este significado foi totalmente estabelecido.
Em latim até cerca de 1700, o termo matemática tinha como significado mais comum "astrologia" (ou às vezes "astronomia"); isto mudou gradualmente para o significado atual entre 1500 e 1800. Esta mudança resultou em vários erros de tradução: Por exemplo, a advertência de Santo Agostinho de que os cristãos deveriam tomar cuidado com os mathematici, que significa "astrólogos", às vezes é mal traduzida como uma condenação dos matemáticos.
Áreas da matemática
Antes do período do Renascimento, a matemática era dividida em duas áreas principais: a aritmética, a manipulação dos números, e a geometria, o estudo das formas. Alguns tipos de pseudociência, como a numerologia e a astrologia, não eram então claramente distinguidas da matemática.
Durante o período do Renascimento, surgiram mais dois campos de estudo matemáticos. A notação deu origem à álgebra que, a grosso modo, consiste no estudo e na manipulação de fórmulas. O cálculo, que consiste nos dois subcampos diferencial e integral, é o estudo de funções contínuas que modelam as relações tipicamente não lineares entre quantidades representadas por variáveis. Esta divisão em quatro áreas principais aritmética, geometria, álgebra, cálculo perdurou até o final do século XIX. Áreas como mecânica celeste e mecânica dos sólidos eram então estudadas por matemáticos, mas agora são consideradas pertencentes à física. O tema da combinatória foi estudado durante grande parte da história registrada, mas não se tornou um ramo separado da matemática até o século XVII.
No final do século XIX, a crise fundamental da matemática e a resultante sistematização do método axiomático levaram a uma explosão de novas áreas da matemática nunca antes vista. A edição de 2020 da Classificação de Disciplinas de Matemática, por exemplo, contém nada menos que 63 áreas matemáticas consideradas de primeiro nível. Algumas delas correspondem à divisão mais antiga, como é o caso da teoria dos números e da geometria. Várias outras têm "geometria" em seus nomes ou são comumente consideradas parte da geometria. Álgebra e cálculo não aparecem como áreas de primeiro nível, mas são campos divididos em várias áreas. Outras áreas de primeiro nível surgiram durante o século XX ou não eram consideradas anteriormente como parte da matemática, como a lógica e os fundamentos matemáticos.
Teoria dos Números
miniaturadaimagem| Esta é a espiral de Ulam, que ilustra a distribuição dos números primos. As linhas diagonais escuras na espiral sugerem a hipótese de independência aproximada entre ser primo e ser um valor de um polinômio quadrático, uma conjectura agora conhecida como Conjectura F de Hardy e Littlewood. A teoria dos números teve início com as primeiras manipulações dos números naturais e posteriormente expandiu-se para números inteiros e números racionais . Ela já foi chamada de aritmética, mas atualmente este termo é usado principalmente para se referir aos cálculos numéricos. A teoria dos números remonta à antiga Babilônia e provavelmente à China Antiga. Dois proeminentes teóricos deste campo de estudo matemático foram os gregos Euclides e Diofanto de Alexandria. O estudo moderno da teoria dos números na sua forma abstrata é amplamente atribuído a Pierre de Fermat e Leonhard Euler, mas este campo se concretizou totalmente com as contribuições do francês Adrien-Marie Legendre e do alemão Carl Friedrich Gauss.
Muitos problemas numéricos têm soluções que requerem métodos sofisticados. Um exemplo proeminente é o Último Teorema de Fermat, conjectura descrita no ano de 1637 por Pierre de Fermat, mas que foi provada apenas em 1994 por Andrew Wiles, que usou ferramentas incluindo teoria de esquemas de geometria algébrica, teoria de categorias e álgebra homológica. Outro exemplo é a Conjectura de Goldbach, que afirma que todo número inteiro par maior que 2 é a soma de dois números primos. Declarada em 1742 por Christian Goldbach, permanece sem comprovação, apesar de esforços consideráveis.
A teoria dos números abrange inúmeras subáreas, como teoria analítica dos números, teoria algébrica dos números, geometria dos números (orientada a métodos), equações diofantinas e teoria da transcendência (orientada a problemas).
Geometria
miniaturadaimagem|Na superfície de uma esfera, a geometria euclidiana só se aplica como aproximação local. Para escalas maiores a soma dos ângulos de um triângulo não é igual a 180°. A geometria é um dos ramos mais antigos da matemática e começou com receitas empíricas sobre formas, como linhas, ângulos e círculos, que foram desenvolvidas principalmente para a topografia e a arquitetura, mas desde então floresceram em muitos outros subcampos.
Uma inovação fundamental foi a introdução, pelos antigos gregos, do conceito de provas, que exige que cada afirmação seja provada. Por exemplo, não é suficiente verificar por medição que, digamos, dois comprimentos são iguais; sua igualdade deve ser provada através do raciocínio a partir de resultados previamente aceitos (teoremas) e de algumas afirmações básicas que não estão sujeitas a prova porque são evidentes (postulados) ou que fazem parte da definição do objeto de estudo (axiomas). Este princípio, fundamental para toda a matemática, foi elaborado pela primeira vez para a geometria e foi sistematizado por Euclides por volta do ano 300 a.C. em sua obra Os Elementos.
A geometria euclidiana é o estudo das formas e seus arranjos construídos a partir de retas, planos e círculos no plano e no espaço euclidiano tridimensional. Foi desenvolvida sem mudança de métodos ou escopo até o século XVII, quando René Descartes introduziu o que hoje é chamado de coordenadas cartesianas, o que constituiu uma grande mudança de paradigma: em vez de definir números reais como comprimentos de segmentos de reta (ver reta numérica), permitiu a representação de pontos usando suas coordenadas, que são números. A álgebra (e mais tarde o cálculo) pode, portanto, ser usada para resolver problemas geométricos. A geometria foi dividida em dois novos subcampos: geometria sintética, que utiliza métodos puramente geométricos, e geometria analítica, que utiliza coordenadas sistemicamente. A geometria analítica permite o estudo de curvas não relacionadas a círculos e linhas. Tais curvas podem ser definidas como o gráfico de funções, cujo estudo levou à geometria diferencial. Elas também podem ser definidas como equações implícitas, muitas vezes equações polinomiais (que geraram a geometria algébrica). A geometria analítica também permite considerar espaços euclidianos superiores a três dimensões.
A geometria analítica permite o estudo das curvas não relacionadas a círculos e linhas que podem ser definidas como o gráfico de funções, cujo estudo levou ao surgimento da área da geometria diferencial. Tais curvas também podem ser definidas como equações implícitas, muitas vezes equações polinomiais (que geraram a geometria algébrica). A geometria analítica também permite considerar espaços euclidianos superiores a três dimensões.
No século XIX, os matemáticos descobriram geometrias não euclidianas, ou seja, que não seguem o postulado das paralelas. Ao questionar a verdade deste postulado, esta descoberta foi interpretada como uma adesão ao Paradoxo de Russell ao revelar a crise fundamental da matemática. Este aspecto da crise foi resolvido por meio da sistematização do método axiomático e pela noção de que a verdade dos axiomas escolhidos, na verdade, não é um problema matemático. Por sua vez, o método axiomático permite o estudo de diversas geometrias obtidas quer pela alteração dos axiomas, quer pela consideração de propriedades que não mudam sob transformações específicas do espaço.
As subáreas atuais da geometria incluem:
Geometria projetiva, introduzida no século XVI por Girard Desargues, estende a geometria euclidiana adicionando pontos impróprios nos quais linhas paralelas se cruzam. Isto simplifica muitos aspectos da geometria clássica, unificando os tratamentos para linhas paralelas e que se cruzam. Geometria afim, o estudo das propriedades relativas ao paralelismo e independentes do conceito de comprimento. Geometria diferencial, o estudo de curvas, superfícies e suas generalizações, que são definidas por meio de funções diferenciáveis. Teoria múltipla, o estudo de formas que não estão necessariamente incorporadas em um espaço maior. Geometria riemanniana, o estudo das propriedades de distância em espaços curvos. Geometria algébrica, o estudo de curvas, superfícies e suas generalizações, que são definidas por meio de polinômios.