No cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos utilizados para encontrar antiderivadas de funções. Algumas das técnicas mais conhecidas são as de integração por substituição, partes, e frações parciais.
Integração por substituição Considere a seguinte integral:
A técnica de integração por substituição consiste em aplicar a mudança de variáveis . Desta forma, o que, substituindo na integral acima, fornece:
Esta técnica é consequência da regra da cadeia para derivadas.
Exemplo Considere-os:
Tomando , temos . Segue que:
.
Integração por partes
A técnica de integração por partes é uma consequência da regra do produto para derivadas. Ela estabelece que:
.
Para integrais definidas, a fórmula análoga é:
Exemplo Considere a integral definida:
. Tomando:
Seque, da integração por partes que: .
Substituições trigonométricas As substituições trigonométricas são muitas vezes úteis para calcular integrais contendo expressões da forma , , ou . Nestes casos, as substituições sugeridas são: ExpressãoSubstituiçãoElemento infenitesimalExpressão resultante
Exemplo
Considere a integral . Usando a substituição , obtem-se . Segue que: .
A integral de cosseno ao quadrado pode ser calculada utilizando integração por partes, tomando: , , temos:
Daí, segue que:
Da substituição feita concluímos que:
onde, é uma constante indeterminada.
Integração por frações parciais A técnica de frações parciais é utilizada para o cálculo de integrais de funções racionais. Considere:
onde, e são polinômios. Notamos que, por divisão de polinômios, encontrar polinômios e tais que:
sendo um polinômio de grau menor que . O método segue da fatoração de em polinômios irredutíveis, i.e. escrevemos: . Com isso, podemos encontrar constantes , e tais que: . Em resumo, temos:
que consiste na integração do polinômio e de uma série de funções racionais das formas ou . As integrais destas, por sua vez, podem ser calculadas pelos métodos de integração discutidos acima.
Exemplo Considere:
Temos , logo:
donde encontramos que , i.e. e . Daí:
Ver também Tabela de integrais Erro percentual absoluto médio
Categoria:Cálculo integral