A Conjectura de Andrica é um dos problemas não resolvidos da matemática, sendo relacionada com a distribuição dos números primos e a distância entre dois primos consecutivos. Seu nome é homenagem ao matemático Dorin Andrica.Conjectura de Andrica
Conjectura
A conjectura afirma que a desigualdade
é válida (para todo n), onde representa o n-ésimo número primo. Se denota a n-ésima diferença entre dois primos, a conjectura de Andrica pode ser reescrita como
Evidências empíricas
Imran Ghory usou os dados sobre as maiores diferenças entre dois primos consecutivos para confirmar a veracidade da conjectura para maior que 1,3002 × 1016.Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p. 13. Usando tabelas maiores, a confirmação dos valores foi estendida exaustivamente para 4 × 1018.
A função discreta e seus gráficos são mostrados ao lado. Os maiores valores de ocorrem para n = 1, 2, and 4, com A4 ≈ 0.670873..., sem valores maiores para os próximos 105 primeiros primos. Como a função de Andrica decresce assintoticamente conforme n aumenta, , uma diferença entre primos precisa fazer o valor da diferença ser maior conforme n se torna maior. Isso indica fortemente que a conjectura é verdadeira, ainda que ainda não tenha sido provada nem refutada.
Generalizações
Uma generalização da conjectura de Andrica pode ser feita levando em conta a seguinte equação:
onde é on-ésimo número primo e x pode ser qualque número positivo.
A maior solução para o possível valor de x é fácil de ocorrer para , quando xmax = 1. Se conjectura que a menor solução x é xmin ≈ 0.567148... que ocorre para n = 30.
Essa conjectura também pode ser apresentada como uma desigualdade, a conjectura de Andrica generalizada:
for
Status
A conjectura ainda não foi provada nem refutada, apesar de haver fortes indícios de que esta seja verdadeira.
Ver também
Conjectura de Oppermann Conjectura de Legendre Conjectura de Cramer Conjectura de Firoozbakht
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