thumb|Uma representação tridimensional de um nó de trevo, o nó não trivial mais simples thumb|Um diagrama de nó do nó de trevo.
Em topologia, a teoria dos nós é o estudo dos nós matemáticos. Apesar de ser inspirada pelos nós que aparecem na vida quotidiana em cadarços e cordas, a noção matemática de nó é diferente pois as pontas são unidas de forma que não pode ser desfeita. Em termos mais precisos matematicamente, um nó é uma imersão de um círculo no espaço euclidiano tridimensional, R3. Dois nós matemáticos são equivalentes se um pode ser transformado no outro por meio de uma deformação de R3 em si mesmo (conhecida como uma isotopia do ambiente); essas transformações correspondem a manipulações da corda amarrada sem que haja um corte ou que ela passe através de si mesma.
Os nós podem ser descritos de várias maneiras. Dado um método de descrição, no entanto, pode haver mais de uma descrição que representa o mesmo nó. Por exemploː Um método comum de descrever um nó é um diagrama plano chamado diagrama de nó. Qualquer nó dado pode ser desenhado de muitas maneiras diferentes usando um diagrama de nó. Portanto, um problema fundamental na teoria do nó é determinar quando duas descrições representam o mesmo nó.
Existe uma solução algorítmica completa para este problema, que tem uma complexidade desconhecida. Na prática, os nós são frequentemente distinguidos usando um invariante de nó, uma "quantidade" que é a mesma quando computada a partir de diferentes descrições de um nó. Os invariantes importantes incluem polinômios de nó, grupos de nó e invariantes hiperbólicos.
A motivação original para os fundadores da teoria do nó foi criar uma tabela de nós e enlaces, que são nós de vários componentes entrelaçados uns com os outros. Mais de seis bilhões de nós e enlaces foram tabulados desde os primórdios da teoria do nó no século XIX.
Para obter mais informações, os matemáticos têm generalizado o conceito de nó de várias maneiras. Nó pode ser considerado em outros espaços tridimensionais e objetos que não sejam círculos podem ser utilizados; Ver nó (matemática). Nós de maior dimensão são esferas n-dimensionais no espaço euclidiano m-dimensional.
História ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:KellsFol034rXRhoDet3.jpeg|miniaturadaimagem|Livro Celta de 1200 anos de Kells Os arqueólogos descobriram que a ligação do nó remonta aos tempos pré-históricos. Além de seus usos, como gravar informações e amarrar objetos juntos, os nós têm interessado humanos para sua estética simbolismo espiritual. Nó aparecem em várias formas de arte chinesa datando de vários séculos a.C. O nó interminável aparece no budismo tibetano, enquanto os anéis borromeanos têm feito aparições repetidas em diferentes culturas, muitas vezes representando a força na unidade. Os monges celtas que criaram o Livro de Kells derramando páginas inteiras com nó Celta intrincados.
Uma teoria matemática dos nós foi desenvolvida pela primeira vez em 1771 por Alexandre-Théophile Vandermonde, que explicitamente observou a importância das características topológicas ao discutir as propriedades dos nós relacionados com a geometria da posição. Os estudos matemáticos dos nós começaram no século XIX com Gauss, que definiu o número de enlaces. Na década de 1860, a teoria de Lord Kelvin de que os átomos eram nós no éter levou a criação de Peter Guthrie Tait das primeiras tabelas de nós para a classificação completa. Tait, em 1885, publicou uma tabela de nós com até dez cruzamentos, e o que veio a ser conhecido como as conjecturas de Tait. Esse registro motivou os primeiros teóricos do nó, mas a teoria do nó acabou se tornando parte do emergente tema da topologia.
Esses topólogos no início do século XX - Max Dehn, J. W. Alexander e outros - estudaram nós do ponto de vista do grupo de nó e invariantes da teoria da homologia, como o polinômio de Alexander. Esta seria a principal abordagem para a teoria do nó até que uma série de descobertas transformassem o assunto.
No final dos anos 1970, William Thurston introduziu a geometria hiperbólica no estudo dos nós com o teorema da hiperbolização. Muitos nós foram mostrados como nós hiperbólicos, permitindo o uso da geometria na definição de novos e poderosos invariantes de nó. A descoberta do polinômio de Jones por Vaughan Jones em 1984 (Sossinsky 2002, pp. 71-89), e contribuições subseqüentes de Edward Witten, Maxim Kontsevich e outros, revelaram conexões profundas entre a teoria do nó e os métodos matemáticos na mecânica estatística e no campo quântico teoria. Uma infinidade de invariantes nó foram inventados desde então, utilizando ferramentas sofisticadas, tais como grupos quânticos e homologia Floer.
Nas últimas décadas do século XX, os cientistas se interessaram em estudar nós físicos para entender fenômenos de nó em DNA e outros polímeros. A teoria do nó pode ser usada para determinar se uma molécula é quiral (tem um "handedness") ou não (Simon 1986). Os emaranhados, cordas com ambas as extremidades fixadas no lugar, foram eficazmente utilizados no estudo da ação da topoisomerase no ADN. A teoria do nó pode ser crucial na construção de computadores quânticos, através do modelo de computação quântica topológica.
Nós equivalentes Um nó é criado começando com um segmento de linha unidimensional, envolvendo-o arbitrariamente e, em seguida, fundindo suas duas extremidades livres para formar um ciclo fechado. Simplesmente, podemos dizer que um nó é uma "curva fechada simples" ou "curva (fechada) de Jordan" (isto é: uma função "quase" injetora e contínua, sendo a única "não-injetora" sendo ). Os topólogos consideram nó e outros emaranhados como ligações e tranças para ser equivalentes se o nó puder ser empurrado sem problemas, sem se cruzar, para coincidir com outro nó. A ideia de equivalência de nó é dar uma definição precisa de quando dois nós devem ser considerados os mesmos, mesmo quando posicionados de forma bastante diferente no espaço. Uma definição matemática formal é que dois nós são equivalentes se houver um homeomorfismo que preserve a orientação com , e isso é conhecido como isotopia ambiente.
O problema básico da teoria do nó, o problema do reconhecimento, é determinar a equivalência de dois nós. Algoritmos existem para resolver este problema, com o primeiro dado por Wolfgang Haken no final dos anos 1960. No entanto, esses algoritmos podem ser extremamente demorados, e uma questão importante na teoria é entender o quão difícil este problema realmente é. O caso especial de reconhecer o nó trivial, chamado de problema de nó de trivialidade, é de particular interesse.
Diagramas de nós Uma maneira útil de visualizar e manipular nós é projetar o nó em um plano - pense no nó lançando uma sombra na parede. Uma pequena mudança na direção da projeção assegurará que ele é um-para-um exceto nos pontos duplos, chamados cruzamentos, onde a "sombra" do nó cruza-se uma vez transversalmente. Em cada cruzamento, para ser capaz de recriar o nó original, o over-strand deve ser distinguido do under-strand. Isto é feito frequentemente criando uma ruptura na costa que vai abaixo. O diagrama resultante é uma curva de plano imerso com os dados adicionais de que a vertente está sobre e que está abaixo em cada passagem. (Estes diagramas são chamados de diagramas de nó quando representam um nó e diagramas de ligação quando representam uma ligação.) Analogamente, as superfícies atadas em um espaço de quatro dimensões podem estar relacionadas com superfícies imersas em três dimensões.
Um diagrama reduzido é um diagrama de nó no qual não existem cruzamentos redutíveis (também cruzamentos nugatórios ou removíveis), ou em que todos os cruzamentos redutíveis foram removidos.
Movimentos de Reidemeister Em 1927, trabalhando com esta forma esquemática de nós, J. W. Alexander e G. Briggs, e independentemente Kurt Reidemeister, demonstraram que dois diagramas de nó pertencentes ao mesmo nó podem ser relacionados por uma seqüência de três tipos de movimentos no diagrama, mostrados abaixo. Estas operações, agora chamadas de Movimentos de Reidemeister, são: Torça em qualquer direção. Mova um fio completamente sobre outro. Mova um fio completamente sobre ou sob uma travessia. +Reidemeister movesligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png|155x155px ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Frame_left.pngligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_2.png|210x210px12ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_3.png|360x360px3 A prova de que diagramas de nós equivalentes estão conectados por movimentos Reidemeister depende de uma análise do que acontece sob a projeção planar do movimento levando um nó para outro. O movimento pode ser organizado de modo que quase todo o tempo a projeção será um diagrama de nó, exceto em muitas vezes finito quando um "evento" ou "catástrofe" ocorre, como quando mais de duas vertentes cruzam em um ponto ou várias vertentes Tangente em um ponto. Uma estreita inspeção mostrará que eventos complicados podem ser eliminados, deixando apenas os eventos mais simples: (1) uma "dobra" formando ou sendo endireitada; (2) dois fios tornando-se tangentes em um ponto e passando; E (3) três fios cruzando em um ponto. Estes são precisamente os movimentos de Reidemeister.
Invariantes de nó
Um invariante de nó é uma "quantidade" que é a mesma para nós equivalentes. Por exemplo, se o invariante é calculado a partir de um diagrama de nó, ele deve dar o mesmo valor para dois diagramas de nós representando nós equivalentes. Um invariante pode ter o mesmo valor em dois nós diferentes, por isso, por si só pode ser incapaz de distinguir todos os nós. Um invariante elementar é tricolor.
Os invariantes de nó "clássicos" incluem o grupo de nó, que é o grupo fundamental do complemento de nó, e o polinômio de Alexander, que pode ser calculado a partir do invariante de Alexander, um módulo construído a partir da cobertura cíclica infinita do complemento de nó. No final do século 20, invariantes como polinômios "quânticos", invariantes de Vassiliev e invariantes hiperbólicos foram descobertos. Estes invariantes acima mencionados são apenas a ponta do iceberg da teoria moderna do nó.
Nós polinomiais Um polinômio de nó é um invariante de nó que é um polinômio. Exemplos bem conhecidos incluem os polinómios de Jones e Alexander. Uma variante do polinômio Alexander, o polinômio de Alexander-Conway, é um polinômio na variável z com coeficientes inteiros.
O polinômio Alexander-Conway é realmente definido em termos de enlaces, que consistem em um ou mais nós enredados uns com os outros.
Considere um diagrama de ligação orientado, isto é, um em que cada componente da ligação tem uma direção preferida indicada por uma seta. Para um determinado cruzamento do diagrama, seja os diagramas de ligação orientados resultantes da alteração do diagrama como indicado na figura: ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Skein_(HOMFLY).svg|centro|200x200px O diagrama original pode ser or , dependendo da configuração do cruzamento escolhido. Então o polinômio de Alexander-Conway, , É definida recursivamente de acordo com as regras: (onde é um diagrama de um nó trivialt)
A segunda regra é o que é muitas vezes referida como uma relação skein. Para verificar se essas regras dão um invariante de um enlace orientado, deve-se determinar que o polinômio não muda sob os três movimentos Reidemeister. Muitos polinômios de nó importantes podem ser definidos dessa maneira.
O seguinte é um exemplo de um cálculo típico usando uma relação skein. Calcula o polinômio de Alexander-Conway do nó do trevo. As manchas amarelas indicam onde a relação é aplicada. C(ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Skein-relation-trefoil-plus-sm.png) = C(ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Skein-relation-trefoil-minus-sm.png) + z C(ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Skein-relation-trefoil-zero-sm.png)