300px|thumb|Deformação de uma caneca num toro. Topologia (do grego topos, "lugar", e logos, "estudo") é o ramo da matemática que estuda os espaços topológicos, sendo considerado como uma extensão da geometria. Caldas, André. Topologia Geral de Vários Ângulos

A palavra topologia é usada tanto para descrever essa área de estudos quanto para designar uma família de conjuntos (conjuntos abertos) utilizados para definir o conceito básico da teoria, o espaço topológico.

A Topologia é uma área muito ampla, com muitas sub-áreas. A divisão mais básica é:

Topologia Geral, que investiga conceitos como compacidade, conexidade, separabilidade; Topologia algébrica, que investiga conceitos como homotopia e homologia;Clóvis Pereira da Silva, Aspectos históricos do desenvolvimento da pesquisa matemática no Brasil, Editora Livraria da Fisica, 2009, ISBN 8-578-61015-6 Topologia geométrica, que estuda as variedades e suas aplicações, fibrados incluindo a teoria dos nós.

Particularmente importantes no estudo dos espaços topológicos são as funções conhecidas como homeomorfismos. Trata-se de funções que preservam a "estrutura topológica" do seu espaço. Assim, se entre dois espaços existe um homeomorfismo, então esses espaços são topologicamente indistinguíveis.

História

thumb|As Sete Pontes de Königsberg foram um problema resolvido por Euler.

A topologia, como uma disciplina matemática bem definida, originou-se no início do século XX, mas alguns resultados isolados podem ser rastreados há vários séculos. Entre estes estão certas questões de geometria investigadas por Leonhard Euler. Seu artigo de 1736 sobre as Sete Pontes de Königsberg é considerado uma das primeiras aplicações práticas da topologia. Em 14 de novembro de 1750, Euler escreveu a um amigo que havia percebido a importância das arestas de um poliedro. Isso levou à sua fórmula de poliedros, V − A + F = 2 (onde V, A e F indicam, respectivamente, o número de vértices, arestas e faces do poliedro). Algumas autoridades consideram esta análise como o primeiro teorema, sinalizando o nascimento da topologia.;

Contribuições adicionais foram feitas por Augustin-Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Johann Benedict Listing, Bernhard Riemann e Enrico Betti.Richeson (2008) Listing introduziu o termo "Topologie" em Vorstudien zur Topologie, escrito em seu alemão nativo, em 1847, tendo usado a palavra por dez anos em correspondências antes de sua primeira aparição impressa. A forma inglesa "topology" foi usada em 1883 no obituário de Listing na revista Nature para distinguir a "geometria qualitativa da geometria comum, na qual as relações quantitativas são tratadas principalmente".

Seus trabalhos foram corrigidos, consolidados e grandemente estendidos por Henri Poincaré. Em 1895, ele publicou seu artigo seminal sobre Analysis Situs, que introduziu os conceitos agora conhecidos como homotopia e homologia, que hoje são considerados parte da topologia algébrica.

+ Características topológicas de 2-variedades fechadas Variedade Número de Euler Orientabilidade Números de Betti Coeficiente de torção(1-dim) b0 b1 b2 Esfera 2 Sim 1 0 1 nenhum Toro 0 Sim 1 2 1 nenhum Toro com 2 furos −2 Sim 1 4 1 nenhum Toro com g furos (gênero g) 2 − 2g Sim 1 2g 1 nenhum Plano projetivo 1 Não 1 0 0 2 Garrafa de Klein 0 Não 1 1 0 2 Esfera com c cross-caps (c > 0) 2 − c Não 1 c − 1 0 2 2-variedade com g furose c cross-caps (c > 0) 2 − (2g + c) Não 1 (2g + c) − 1 0 2

O desenvolvimento da topologia no século XX foi marcado por avanços significativos tanto na teoria fundamental quanto em sua aplicação a outros campos da matemática. Unificando o trabalho sobre espaços funcionais de Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli e outros, Maurice Fréchet introduziu o espaço métrico em 1906. Um espaço métrico é agora considerado um caso especial de um espaço topológico geral, com qualquer espaço topológico dado podendo potencialmente dar origem a muitos espaços métricos distintos. Em 1914, Felix Hausdorff cunhou o termo "espaço topológico" e definiu o que hoje é chamado de Espaço de Hausdorff. Atualmente, um espaço topológico é uma leve generalização dos espaços de Hausdorff, dada em 1922 por Kazimierz Kuratowski.

A topologia moderna depende fortemente das ideias da teoria dos conjuntos, desenvolvida por Georg Cantor no final do século XIX. Além de estabelecer as ideias básicas da teoria dos conjuntos, Cantor considerou conjuntos de pontos no espaço euclidiano como parte de seu estudo das séries de Fourier. Para desenvolvimentos posteriores, veja topologia geral e topologia algébrica.

O Prêmio Abel de 2022 foi concedido a Dennis Sullivan "pelas suas contribuições inovadoras para a topologia no seu sentido mais amplo e, em particular, para os seus aspetos algébricos, geométricos e dinâmicos".

Motivação thumb|240px|alt=Fotografia de uma fita de Möbius de papel|As fitas de Möbius, que possuem apenas uma superfície e uma única borda, são um tipo de objeto estudado em topologia.

A percepção motivadora por trás da topologia é que alguns problemas geométricos dependem não da forma exata dos objetos envolvidos, mas sim da maneira como eles são montados. Por exemplo, o quadrado e o círculo possuem muitas propriedades em comum: ambos são objetos unidimensionais (do ponto de vista topológico) e ambos separam o plano em duas partes: a parte de dentro e a parte de fora.

Em um dos primeiros artigos sobre topologia, Leonhard Euler demonstrou que era impossível encontrar uma rota pela cidade de Königsberg (atual Caliningrado) que cruzasse cada uma de suas sete pontes exatamente uma vez. Este resultado não dependia do comprimento das pontes ou da distância entre elas, mas apenas de propriedades de conectividade: quais pontes conectam quais ilhas ou margens de rios. Este problema das Sete Pontes de Königsberg deu origem ao ramo da matemática conhecido como Teoria dos grafos.

Da mesma forma, o Teorema da bola cabeluda da topologia algébrica afirma que "não se pode pentear o cabelo de uma bola cabeluda de forma lisa sem criar um redemoinho". Este fato é imediatamente convincente para a maioria das pessoas, embora elas possam não reconhecer o enunciado mais formal do teorema: que não existe um campo vetorial tangente contínuo que nunca se anula em uma esfera. Assim como nas Pontes de Königsberg, o resultado não depende da forma da esfera; ele se aplica a qualquer tipo de "massa" suave, desde que não tenha buracos.

Para lidar com esses problemas que não dependem da forma exata dos objetos, deve-se ter clareza sobre quais propriedades esses problemas de fato dependem. Dessa necessidade surge a noção de homeomorfismo. A impossibilidade de cruzar cada ponte apenas uma vez aplica-se a qualquer arranjo de pontes homeomorfo ao de Königsberg, e o teorema da bola cabeluda aplica-se a qualquer espaço homeomorfo a uma esfera.

thumb|right|240px|Uma transformação contínua pode transformar uma caneca de café em uma rosquinha.Modelo de cerâmica por Keenan Crane e Henry Segerman.

Intuitivamente, dois espaços são homeomorfos se um puder ser deformado no outro sem cortes ou colagens. Um exemplo famoso, conhecido como o "Café da Manhã do Topólogo", é que um topólogo não consegue distinguir uma caneca de café de uma rosquinha (donuts). Um toro maleável (com formato de rosquinha) pode ser remodelado em uma caneca de café criando uma depressão e ampliando-a progressivamente, enquanto o buraco central é reduzido até se tornar a alça da caneca.

O homeomorfismo pode ser considerado a equivalência topológica mais básica. Outra é a equivalência homotópica. Esta é mais difícil de descrever sem entrar em detalhes técnicos, mas a noção essencial é que dois objetos são homotopicamente equivalentes se ambos resultarem do "esmagamento" de algum objeto maior.

Conceitos

Topologias em conjuntos

O termo "topologia" também se refere a uma ideia matemática específica, central para a área da matemática chamada topologia. Informalmente, uma topologia descreve como os elementos de um conjunto se relacionam espacialmente entre si. O mesmo conjunto pode ter topologias diferentes. Por exemplo, a reta real, o plano complexo e o Conjunto de Cantor podem ser pensados como o mesmo conjunto com topologias diferentes.

Formalmente, seja X um conjunto e seja τ uma família de subconjuntos de X. Então, τ é chamada de uma topologia em X se:

Tanto o conjunto vazio quanto X são elementos de τ. Qualquer união de elementos de τ é um elemento de τ. Qualquer interseção de um número finito de elementos de τ é um elemento de τ.

Se τ é uma topologia em X, então o par (X, τ) é chamado de espaço topológico. A notação Xτ pode ser usada para denotar um conjunto X dotado da topologia particular τ. Por definição, toda topologia é um sistema-π.

Os membros de τ são chamados de conjuntos abertos em X. Diz-se que um subconjunto de X é fechado se o seu complemento estiver em τ (ou seja, seu complemento é aberto). Um subconjunto de X pode ser aberto, fechado, ambos (um conjunto aberto e fechado ou clopen) ou nenhum dos dois. O conjunto vazio e o próprio X são sempre, simultaneamente, abertos e fechados. Um subconjunto aberto de X que contém um ponto x é chamado de vizinhança aberta de x.

Funções contínuas e homeomorfismos

Uma função ou aplicação de um espaço topológico para outro é chamada de contínua se a pré-imagem de qualquer conjunto aberto for aberta. Se a função mapeia os números reais para os números reais (ambos os espaços com a topologia padrão), então esta definição de continuidade é equivalente à definição de continuidade no cálculo. Se uma função contínua é injetora e sobrejetora (bijetora), e se a inversa da função também é contínua, então a função é chamada de homeomorfismo e o domínio da função é dito ser homeomorfo ao contradomínio. Outra forma de dizer isto é que a função tem uma extensão natural para a topologia. Se dois espaços são homeomorfos, eles possuem propriedades topológicas idênticas e são considerados topologicamente iguais. O cubo e a esfera são homeomorfo, assim como a caneca de café e a rosquinha. No entanto, a esfera não é homeomorfa à rosquinha.

Variedades

Embora os espaços topológicos possam ser extremamente variados e exóticos, muitas áreas da topologia concentram-se na classe mais familiar de espaços conhecidos como variedades. Uma variedade é um espaço topológico que se assemelha ao espaço euclidiano próximo a cada ponto. Mais precisamente, cada ponto de uma variedade n-dimensional possui uma vizinhança que é homeomorfa ao espaço euclidiano de dimensão n. Linhas e círculos, mas não curvas em formato de oito, são variedades unidimensionais. Variedades bidimensionais também são chamadas de superfícies. Exemplos incluem o plano, a esfera e o toro, que podem todos ser realizados em três dimensões sem autointerseção, e a Garrafa de Klein e o Plano projetivo real, que não podem.

Subcampos

Topologia geral

A topologia geral é o ramo da topologia que lida com as definições e construções básicas da teoria dos conjuntos usadas na área.Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.Adams, Colin Conrad, e Robert David Franzosa. Introduction to topology: pure and applied. Pearson Prentice Hall, 2008. É o alicerce de quase todos os outros ramos da topologia, incluindo a topologia diferencial, a topologia geométrica e a topologia algébrica. Outro nome para a topologia geral é topologia de conjuntos (point-set topology).