alt=|thumb|400px|Mapa-múndi dos coeficientes de Gini (em %), em 2022, segundo a Plataforma de Pobreza e Desigualdade (PIP)
Em economia, o coeficiente de Gini, também conhecido como índice de Gini ou razão de Gini, é uma medida de dispersão estatística destinada a representar a desigualdade de renda, a desigualdade de riqueza ou a desigualdade de consumo em uma nação ou grupo social. Foi desenvolvido pelo estatístico e sociólogo italiano Corrado Gini.
O coeficiente de Gini mede a desigualdade entre os valores de uma distribuição de frequências, como os níveis de renda. Um coeficiente de Gini igual a 0 representa igualdade perfeita, em que todos os valores de renda ou riqueza são iguais. Em contraste, um coeficiente de Gini igual a 1 (ou 100%) representa desigualdade máxima entre os valores, em que um único indivíduo possui toda a renda e todos os demais não possuem nenhuma.Nota: o coeficiente de Gini só poderia se aproximar de um em uma população grande na qual poucas pessoas detivessem toda a renda. No caso especial de apenas duas pessoas, em que uma não possui renda e a outra possui toda a renda, o coeficiente de Gini é 0,5. Para cinco pessoas, em que quatro não possuem renda e a quinta possui toda a renda, o coeficiente de Gini é 0,8. Ver: Bellù, L.G. and Liberati, P. 2006. Inequality Analysis: The Gini Index. EASYPol: Resources for policy making. Rome, FAO.
Corrado Gini propôs o coeficiente de Gini como uma medida da desigualdade de renda ou riqueza.Gini, Corrado (1936). "On the Measure of Concentration with Special Reference to Income and Statistics", Colorado College Publication, General Series No. 208, 73–79. Nos países da OCDE, no final do século XX, considerando o efeito de impostos e transferências de renda, o coeficiente de Gini da renda variava entre 0,24 e 0,49, sendo a Eslováquia o menor e o México o maior. Os países africanos apresentavam os maiores coeficientes de Gini antes dos impostos em 2008–2009, com a África do Sul registrando o maior do mundo, estimado entre 0,63 e 0,7. Contudo, esse valor cai para 0,52 após se considerar a assistência social e novamente para 0,47 após a tributação. A Eslováquia tem o menor coeficiente de Gini, de 0,232. Diversas fontes estimaram que o coeficiente de Gini da renda global em 2005 situava-se entre 0,61 e 0,68.
Há diversos problemas na interpretação de um coeficiente de Gini, pois um mesmo valor pode resultar de muitas curvas de distribuição diferentes. A estrutura demográfica deve ser levada em consideração para atenuar esse problema. Países com população envelhecida ou com aumento da taxa de natalidade apresentam elevação do coeficiente de Gini antes dos impostos mesmo que a distribuição real de renda entre adultos em idade ativa permaneça constante. Existem mais de uma dúzia de variantes do coeficiente de Gini, elaboradas por diferentes estudiosos.
História O estatístico italiano Corrado Gini desenvolveu o coeficiente de Gini e o publicou em seu artigo de 1912 Variabilità e mutabilità ().Gini, C. (1909). "Concentration and dependency ratios" (in Italian). English translation in Rivista di Politica Economica, 87 (1997), 769–789. Com base no trabalho do economista Max Lorenz, Gini propôs utilizar a diferença entre a reta hipotética que representa a igualdade perfeita e a linha real que representa a renda das pessoas como uma medida de desigualdade. Nesse trabalho, introduziu o conceito de diferença média simples como medida de variabilidade.
Posteriormente, aplicou a diferença média simples das variáveis observadas à desigualdade de renda e de riqueza em seu trabalho On the measurement of concentration and variability of characters, de 1914. Nele, apresentou a razão de concentração, que mais tarde evoluiu para o atual coeficiente de Gini. Em segundo lugar, Gini observou que aperfeiçoamentos dos métodos introduzidos por Lorenz, Chatelain ou Séailles também poderiam alcançar a razão por ele proposta.
Em 1915, Gaetano Pietra introduziu uma interpretação geométrica da razão proposta por Gini, relacionando-a à área de concentração observada e à concentração máxima. Essa versão modificada do coeficiente de Gini tornou-se o índice de desigualdade mais utilizado nos anos seguintes.
Segundo dados da OCDE, o coeficiente de Gini foi utilizado oficialmente em âmbito nacional pela primeira vez no Canadá, na década de 1970. O índice canadense de desigualdade de renda variou de 0,303 a 0,284 entre 1976 e o fim da década de 1980. A OCDE passou a publicar mais dados sobre países desde o início do século XXI. Os países da Europa Central Eslovênia, Chéquia e Eslováquia têm apresentado os menores índices de desigualdade entre os países da OCDE desde a década de 2000. Os países da Escandinávia também apareceram com frequência no topo da lista de igualdade nas últimas décadas.
Definição thumb|right|upright=1.40|O coeficiente de Gini é igual à área indicada por A dividida pela área total de A e B, isto é, . Os eixos variam de 0 a 1, de modo que A e B formam um triângulo de área e
O coeficiente de Gini é um índice do grau de desigualdade na distribuição de renda ou riqueza, utilizado para estimar quanto a distribuição de riqueza ou de renda de um país se desvia de uma distribuição igualitária.
O coeficiente de Gini é geralmente definido matematicamente com base na Curva de Lorenz, que representa a proporção da renda total da população (eixo y) obtida cumulativamente pelos x mais pobres da população (ver diagrama). Assim, a linha de 45 graus representa a igualdade perfeita de rendas. O coeficiente de Gini pode então ser entendido como a razão entre a área situada entre a linha de igualdade e a curva de Lorenz (indicada por A no diagrama) e a área total sob a linha de igualdade (indicada por A e B no diagrama); isto é, . Se não houver rendas negativas, ele também é igual a 2A e a , pois .
Pressupondo renda ou riqueza não negativas para todos, a faixa teórica do coeficiente de Gini vai de 0 (igualdade total) a 1 (desigualdade absoluta). Essa medida é frequentemente expressa em porcentagem, de 0 a 100. Entretanto, quando valores negativos são considerados, como em casos de dívida, o índice de Gini pode ultrapassar 1. Em geral, pressupõe-se uma média ou um total positivo, o que impede que o coeficiente de Gini fique abaixo de zero.
Uma abordagem alternativa consiste em definir o coeficiente de Gini como metade da diferença absoluta média relativa, o que é equivalente à definição baseada na Curva de Lorenz. A diferença absoluta média é a média da diferença absoluta de todos os pares de itens da população, e a diferença absoluta média relativa é a diferença absoluta média dividida pela média, , para normalizar a escala. Se xi for a riqueza ou renda da pessoa i, e houver n pessoas, então o coeficiente de Gini G é dado por:
Quando a distribuição de renda (ou riqueza) é dada por uma função de densidade de probabilidade contínua p(x), o coeficiente de Gini é novamente metade da diferença absoluta média relativa:
em que é a média da distribuição, e os limites inferiores de integração podem ser substituídos por zero quando todas as rendas são positivas.Dorfman, Robert. “A Formula for the Gini Coefficient.” The Review of Economics and Statistics, vol. 61, no. 1, 1979, pp. 146–49. JSTOR, . Accessed 2 Jan. 2023.
Cálculo thumb|upright=1.25|A parcela mais rica u da população (vermelho) divide igualmente f de toda a renda ou riqueza; os demais (verde) dividem igualmente o restante: . Uma distribuição suave (azul) com os mesmos u e f sempre tem .|right
Embora a distribuição de renda de qualquer país específico não corresponda perfeitamente aos modelos teóricos, esses modelos podem fornecer uma explicação qualitativa da distribuição de renda de uma nação dado o coeficiente de Gini.
Exemplo: dois níveis de renda Os casos extremos são representados pela sociedade mais igualitária possível, na qual cada pessoa recebe a mesma renda (), e pela sociedade mais desigual (com N indivíduos), na qual uma única pessoa recebe 100% da renda total e as pessoas restantes não recebem nada ().
Um caso simples pressupõe apenas dois níveis de renda, baixo e alto. Se o grupo de renda alta corresponde a uma proporção u da população e recebe uma proporção f de toda a renda, então o coeficiente de Gini é . Uma distribuição mais gradual com os mesmos valores de u e f sempre terá coeficiente de Gini superior a .
Por exemplo, se os u = 20% mais ricos da população detiverem f = 80% de toda a renda (ver Princípio de Pareto), o coeficiente de Gini da renda será de pelo menos 60%. Em outro exemplo, se u = 1% da população mundial possuir f = 50% de toda a riqueza, o coeficiente de Gini da riqueza será de pelo menos 49%.
Expressões alternativas
Em alguns casos, essa equação pode ser aplicada para calcular o coeficiente de Gini sem referência direta à Curva de Lorenz. Por exemplo, tomando y para indicar a renda ou riqueza de uma pessoa ou família: Para uma população de n indivíduos com valores ,
Isso pode ser simplificado para:
O coeficiente de Gini também pode ser considerado metade da diferença absoluta média relativa. Para uma amostra aleatória S com valores , o coeficiente de Gini amostral
é um estimador consistente do coeficiente de Gini da população, mas em geral não é um estimador não viesado. Na forma simplificada:
Não existe uma estatística amostral que seja sempre um estimador não viesado do coeficiente de Gini populacional.
Distribuição de probabilidade discreta
Para uma distribuição de probabilidade discreta com função massa de probabilidade , em que é a fração da população com renda ou riqueza , o coeficiente de Gini é:
em que
Se os pontos com probabilidades não nulas forem indexados em ordem crescente , então:
em que e Essas fórmulas também são aplicáveis no limite, quando
Distribuição de probabilidade contínua
Quando a população é grande, a distribuição de renda pode ser representada por uma função de densidade de probabilidade contínua f(x), em que f(x) dx é a fração da população com riqueza ou renda no intervalo dx em torno de x. Se F(x) for a função de distribuição acumulada de f(x):
e L(x) for a função de Lorenz:
então a Curva de Lorenz L(F) pode ser representada como uma função paramétrica em L(x) e F(x), e o valor de B pode ser obtido por integração:
O coeficiente de Gini também pode ser calculado diretamente a partir da função de distribuição acumulada F(y). Definindo μ como a média da distribuição e especificando que F(y) é zero para todos os valores negativos, o coeficiente de Gini é dado por:
O último resultado decorre da Integração por partes. (Observe que essa fórmula pode ser aplicada quando há valores negativos se a integração for feita de menos infinito a mais infinito.)
O coeficiente de Gini pode ser expresso em termos da função quantil Q(F) (inversa da função de distribuição acumulada: Q(F(x)) = x):
Como o coeficiente de Gini é independente de escala, se a função de distribuição puder ser expressa na forma f(x,φ,a,b,c...), em que φ é um fator de escala e a, b, c... são parâmetros adimensionais, então o coeficiente de Gini será função apenas de a, b, c.... Por exemplo, para a Distribuição exponencial, que é função apenas de x e de um parâmetro de escala, o coeficiente de Gini é constante e igual a 1/2.
Para algumas formas funcionais, o índice de Gini pode ser calculado explicitamente. Por exemplo, se y segue uma distribuição log-normal com desvio padrão dos logaritmos igual a , então , em que é a função erro (pois , em que é a função de distribuição acumulada de uma distribuição normal padrão).Crow, E. L., & Shimizu, K. (Eds.). (1988). Lognormal distributions: Theory and applications (Vol. 88). New York: M. Dekker, page 11. A tabela abaixo apresenta alguns exemplos de funções de densidade de probabilidade com suporte em . A distribuição delta de Dirac representa o caso em que todos possuem a mesma riqueza (ou renda); ela implica ausência de variação entre as rendas.