thumb|290px|direita|O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c). Na matemática, o teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo.Alan S. Tussy, R. David Gustafson, Diane Koenig. Prealgebra, pg. 855. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:
Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:
Para ambos os enunciados, pode-se equacionar
onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.
O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração,Heath, Vol I, p. 144. embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).
O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.
Fórmula e corolários thumb|direita|Um triângulo retângulo, de catetos a e b, e de hipotenusa c
Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:
Manipulando algebricamente essa equação, chega-se a que se os comprimentos de quaisquer dois lados do triângulo retângulo são conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser calculado:
Outro corolário do teorema é que:
A hipotenusa é maior que qualquer um dos catetos, pois todos os comprimentos são necessariamente números positivos, e c² > b², logo c > b, e c² > a², logo c > a. E a hipotenusa é menor que a soma dos catetos, pois c² = b² + a², e (b+a)² = b² + 2ba + a², logo c² < (b+a)², logo c < b + a.
Demonstrações Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras. O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas. O livro The Pythagorean Proposition, de Elisha Scott Loomis, por exemplo, contém 370 demonstrações diferentes. Há uma demonstração no livro Os Elementos, de Euclides. E também ofereceram demonstrações, o matemático indiano Bhaskara Akaria, o polímata italiano Leonardo da Vinci, e o vigésimo presidente dos Estados Unidos, James A. Garfield.Published in a weekly mathematics column: as noted in and in A calendar of mathematical dates: April 1, 1876 by V. Frederick Rickey O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas interpretações, e outras provas são baseadas na outra interpretação.
Por comparação de áreas frame|direita|O quadrado é dividido em partes e rearranjado de forma a demonstrar o Teorema de Pitágoras Desenha-se um quadrado de lado De modo a subdividir este quadrado em quatro retângulos, sendo dois deles quadrados de lados, respectivamente, e Traçam-se dois segmentos de reta paralelos a dois lados consecutivos do quadrado, sendo cada um deles interno ao quadrado e com o mesmo comprimento que o lado do quadrado; Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retângulos, traçando-se as diagonais. Chama-se o comprimento de cada diagonal; A área da região que resta ao retirar-se os quatro triângulos retângulos é igual a Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado mas colocam-se os quatro triângulos retângulos noutra posição dentro do quadrado: a posição que deixa desocupada uma região que é um quadrado de lado Assim, a área da região formada quando os quatro triângulos retângulos são retirados é igual a
Como representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e representa a mesma área, então . Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Há hipóteses dos matemáticos alemães Carl Anton Bretschneider e Hermann Hankel de que Pitágoras poderia estar ciente dessa demonstração. Contudo, o britânico Sir Thomas Little Heath defende que Pitágoras não deve ser creditado por essa prova, uma vez que "a literatura grega que temos de cinco séculos após Pitágoras não contém nenhuma declaração especificando o papel que ele possui em nessa ou em qualquer descoberta na geometria." Atualmente, ainda há discussões sobre o papel de Pitágoras no teorema.
Por semelhança de triângulos thumb|250px|direita|Demonstração que utiliza o conceito de semelhança: os triângulos ABC, ACH e CBH têm a mesma forma, diferindo apenas pelas suas posições e tamanhos. A demonstração a seguir se baseia na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a razão entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.
Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, como mostrado na figura. Desenha-se a altura com origem no ponto C, e chama-se H sua intersecção com o lado AB. O ponto H divide o comprimento da hipotenusa, c, nas partes d e e. O novo triângulo, ACH, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos têm um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também,Pois a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus (32ª proposição de Euclides). marcado como θ na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante ao ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:
e
O primeiro resultado é igual ao cosseno de cada ângulo θ e o segundo resultado é igual ao seno.
Estas relações podem ser escritas como: e Somando estas duas igualdades, obtém-se que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras:
Uma variante Usando a mesma figura da demonstração acima, após ser mostrado que ΔABC, ΔACH e ΔCBH são semelhantes, pode-se demonstrar o teorema de Pitágoras usando-se o fato de que "a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre lados correspondentes", da seguinte forma: Chamando-se a área de ΔABC de x, a área de ΔACH é x*(b/c)², e a área de ΔCBH é x*(a/c)² (pois c, b e a são as hipotenusas de ΔABC, ΔACH e ΔCBH, respectivamente). Então, como a área do triângulo inteiro é a soma das áreas dos dois triângulos menores, tem-se x*(a/c)² + x*(b/c)² = x, então (a/c)² + (b/c)² = 1, então a² + b² = c². Blog de Terence Tao
Demonstração de BhaskaraProof #6 in Jim Loy, The Pythagorean Theorem thumb|360px|direita A análise da figura da direita permite computar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado (b−a). Equacionando-se, segue que:
Logo: (o termo (b-a)² é um produto notável) (por comutatividade da multiplicação: 2ab = 2ba)
Por cálculo diferencial Pode-se chegar ao teorema de Pitágoras pelo estudo de como mudanças em um lado produzem mudanças na hipotenusa e usando um pouco de cálculo. É uma demonstração baseada na interpretação métrica do teorema, visto que usa comprimentos, não áreas.
thumb|direita|Demonstração que usa equações diferenciais
Como resultado da mudança da no lado a,
por semelhança de triângulos e para mudanças diferenciais. Então,
por separação de variáveis.
que resulta da adição de um segundo termo para as mudanças no lado b.
Pela integração, segue:
Quando a = 0 então c = b, então a "constante" é b2. Logo,
Num espaço com um produto interno Pode-se estender o teorema de Pitágoras a espaços com produto interno e com uma norma induzida por este. Nessa situação:
Dois vetores x e y são ditos perpendiculares se:
Segue então:
que é o teorema de Pitágoras.
Pelo rearranjo das partes thumb|esquerda|Demonstração pelo rearranjo de quatro triângulos retângulos idênticos thumb|direita|Animação mostrando outra demonstração por rearranjo.
Uma demonstração por rearranjo é dada pela animação à esquerda. Como a área total e as áreas dos triângulos são constantes, a área preta total é constante também. E a área preta pode ser dividida em quadrados delineados pelos lados a, b, c do triângulo, demonstrando que = c2.
Na animação à direita, um grande quadrado inicial é formado da área c 2 tornando adjacentes quatro triângulos retângulos idênticos, deixando um pequeno quadrado no centro do grande quadrado, de modo a acomodar a diferença de comprimentos dos lados dos triângulos. Dois retângulos são formados, de lados a e b, movendo-se os triângulos. Incorporando o pequeno quadrado central com um destes retângulos, os dois retângulos são feitos em dois quadrados de áreas a 2 e b 2, mostrando que c 2 = .
Demonstração de Euclides thumb|Demonstração de Euclides do Teorema de Pitágoras
A finalidade é mostrar que a área do quadrado AOMG é igual à área do quadrado AIHD e que BEFG é igual a BCHI, mostrando que o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos. Veja que a reta definida por HL passa pelo centro do ângulo reto AGB e é ortogonal ao segmento AB. Temos que GL = AB, pois ambos são a hipotenusa do triângulo; e AB = HI, pois que ABCD é um quadrado. Logo GL=HI (o triângulo ABG é igual ao triângulo GML). Assim sendo, as áreas dos quadriláteros AIHD e ANLG são iguais, visto que têm a mesma base (HI = GL) e a mesma altura (AI). Mas temos que as áreas dos quadriláteros ANLG e AOMG são também iguais, pois que têm a base AG em comum e a mesma altura AO. Resulta que, pelo silogismo grego, se Y=Z e Z=W, então Y=W, em termos de área, vale: AIHD = ANLG e ANLG = AOMG, então AIHD = AOMG.HOGBEN, Lancelot. MARAVILHAS DA MATEMÁTICA Vol. 1 , Editora Globo, Porto Alegre, 1956.
Para mostrar que BEFG = BCHI segue-se de modo análogo.
Euclides mostra, desta forma puramente geométrica, que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Recíproca thumb|160px|O "triângulo egípcio", de medidas 3, 4, 5, é, portanto, um triângulo retângulo. A recíproca do teorema de Pitágoras também é verdadeira:
"Para qualquer triângulo com lados l, m, e r, se l² + m² = r², então o ângulo entre l e m mede 90°".
ou, usando apenas palavras,
Ela pode ser provada usando-se a lei dos cossenos.James Stuart Tanton. Encyclopedia of Mathematics, pg. 426.
Consequências e usos Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o teorema de Pitágoras. Na geometria cartesiana, muito usada em ciências e engenharia, todos os cálculos que envolvem relações espaciais e trigonometria têm como base este teorema. :en:Alexander Givental, The Pythagorean Theorem: What is it about? É possível utilizar o teorema de Pitágoras em todos os polígonos, pois eles podem ser divididos em triângulos e esses em triângulos retângulos.Rhoad, Milauskas & Whipple. Geometry for Enjoyment and Challenge, pg 384. E por extensão, em todos os poliedros.
A diagonal do quadrado 145px|direita A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo o lado e a diagonal, segue que:
Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como: Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo. Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 9 - Geometria Plana, pg. 239.
A altura do triângulo equilátero 180px|direita A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo o lado e a altura, segue que:
Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrada como:
A diagonal do cubo