În matematică un număr Motzkin, , este numărul diferitelor moduri de a trasa coarde care nu se intersectează între puncte pe un cerc (nu este obligatoriu ca din fiecare punct să fie trasată o coardă). Numerele Motzkin sunt numite după Theodore Motzkin și au diverse aplicații în geometrie, combinatorică și teoria numerelor.
Numerele Motzkin pentru formează șirul:Marius Coman, Enciclopedia matematică a claselor de numere întregi, Columbus, Ohio: Education Publishing, 2013, , p. 52 1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, ...
Exemple Următoarea figură prezintă cele 9 moduri de a trasa coarde care nu se intersectează între 4 puncte pe un cerc (): Fișier:MotzkinChords4.svg
Următoarea figură prezintă cele 21 de moduri de a trasa coarde care nu se intersectează între 5 puncte pe un cerc ():
Fișier:MotzkinChords5.svg
Proprietăți Numerele Motzkin satisfac următoarele relații de recurență:
unde .
Numerele Motzkin pot fi exprimate prin coeficienți binomial și numere Catalan:
Funcția genertoare a numerelor Motzkin satisface relația: .
Un număr prim Motzkin este un număr Motzkin care este și prim. . Se cunosc doar patru asemenea numere: 2, 127, 15511, 953467954114363
Interpretări combinatorice Al -lea număr Motzkin este și numărul de secvențe întregi pozitive de lungime în care elementele de început și sfârșit sunt fie 1 sau 2, iar diferența dintre oricare două elemente consecutive este −1, 0 sau 1. Echivalent, al -lea număr Motzkin este numărul de secvențe întregi pozitive de lungime în care elementele de început și sfârșit sunt 1, iar diferența dintre oricare două elemente consecutive este −1, 0 sau 1.
Al -lea număr Motzkin dă și numărul de căi din primul cadran (dreapta sus) al unei grile de la coordonatele (0, 0) la coordonatele (, 0) în pași dacă cineva are voie să se deplaseze doar spre dreapta (în sus, în jos sau înainte) la fiecare pas, dar este interzis să tracă sub axa = 0.
De exemplu, imaginea următoare arată cele 9 căi valide de la (0, 0) la (4, 0): Fișier:Motzkin4.svg
Există cel puțin paisprezece utilizări diferite ale numerelor Motzkin în diferite ramuri ale matematicii, cum le-a enumerat în studiul numerelor Motzkin. a arătat că permutările vexilare sunt enumerate prin numere Motzkin.
Note
Bibliografie
Vezi și Număr Delannoy Număr Narayana Număr Schröder Număr Schröder–Hiparh Număr Catalan
Legături externe
Motzkin Categorie:Combinatorică