O progresie geometrică este o serie în care (începând de la al doilea membru) raportul dintre orice membru și membrul precedent este constant. Acest raport se mai numește rație. Notația ei uzual este q.
Denumirea acestei progresii provine de la proprietatea oricărui număr din șir (cu excepția capetelor) de a fi egal cu media geometrică a celor doi vecini ai săi (cu condiția ca termenii șirului să fie numere pozitive).
Progresii geometrice Tipică pentru progresiile geometrice este proprietatea că raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este constant. Sunt de forma , adică , unde sunt relațiile: (formula generală); (formula recurentă); , Acesta din urmă arată că membrul de rang k al seriei geometrice este media geometrică a membrilor cu indicii "k + i" și "k − i", cu .
.
În relațiile de mai sus este rangul (poziția) termenului în șir (), este primul termen, este al doilea termen etc.; este rația progresiei ().
Proprietăți Orice termen al unei progresii geometrice este media geometrică între predecesorul și succesorul său:
Exemple de progresii geometrice (a 1 = 1, q = 2) 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (a 1 = 3, q = 3) 3, 9, 27, 81, ... (a 1 = 5, q = 2) 5, 10, 20, 40, 80, 160, ... (a 1 = 7, q = 10) 7, 70, 700, 7000, ...
Suma termenilor unei progresii geometrice Fie suma primilor termeni ai progresiei geometrice .
Dacă atunci:
Altfel, dacă atunci:
Demonstrație
, dacă .
Bibliografie E. Rogai, Tabele și formule matematice, Editura Tehnică Geometric sequence, at Mathworld.wolfram.com
Vezi și Progresie aritmetică Progresie armonică
Categorie:Șiruri și serii Categorie:Aritmetică Categorie:Medii