thumb|upright=1.2|Două drepte care se intersectează În geometria euclidiană intersecția a două drepte poate fi mulțimea vidă, un singur punct sau o dreaptă (dacă coincid). Distingerea acestor cazuri și găsirea intersecției au diferite utilizări, de exemplu în grafica digitală, și detectarea ciocnirilor.
Într-un spațiu euclidian dacă două drepte nu sunt coplanare, ele nu au niciun punct de intersecție. Dacă sunt coplanare există trei posibilități: dacă coincid (sunt aceeași dreaptă), au în comun toate punctele lor, infinit de multe; dacă sunt distincte, dar au aceeași direcție, se spune că sunt paralele și nu au puncte în comun; în caz contrar, au un singur punct de intersecție.
Simbolul acestei relații geometrice este identic cu cel pentru operația de intersecție a mulțimilor.
Relații de calcul O condiție necesară pentru ca două drepte să se intersecteze este ca acestea să fie în același plan. Îndeplinirea acestei condiții este echivalentă cu situația tetraedrului degenerat, cu vârfuri în două dintre punctele de pe una din drepte și celelalte două vârfuri în cealaltă dreaptă, în sensul de a avea volumul nul.
Drepte date prin câte două puncte Pentru început se consideră intersecția a două drepte și iîn spațiul bidimensional, dreapta fiind definită prin două puncte distincte și iar dreapta prin două puncte distincte și .
Intersecția a dreptelor și poate fi definită cu ajutorul determinanților.
Determinanții pot fi scriși sub forma:
Dacă două drepte sunt paralele sau coincid, numitorul este nul.
Segmente date prin punctele de la capetele lor
Punctul de intersecție de mai sus este pentru dreptele infinit de lungi, definite de puncte, în loc de segmente de dreaptă dintre puncte, iar punctul de intersecție poate să nu aparțină niciunuia dintre cele două segmente. Pentru a găsi intersecția segmentelor se pot defini dreptele și în funcție de parametrii Bézier de gradul întâi:
unde și sunt numere reale. Punctul de intersecție al liniilor se găsește la una dintre următoarele valori sau , unde
și
cu
Va exista o intersecție dacă și . Punctul de intersecție se află pe primul segment dacă și pe al doilea segment dacă . Aceste inegalități pot fi testate fără a face împărțirile, permițând determinarea rapidă a existenței oricărei intersecții a segmentelor înainte de calcularea punctului său exact.
În cazul în care primul dintre cele două segmente are un punct pe axa și , expresiile pentru și se simplifică la:
cu
Drepte date prin ecuațiile lor
Coordonatele și ale punctului de intersecție a două drepte care nu sunt verticale pot fi ușor determinate folosind următoarele substituții și rearanjări.
Fie două drepte au ecuațiile și , unde și sunt pantele dreptelor și unde și sunt intersecțiile cu axa ale dreptelor. În punctul în care cele două drepte se intersectează (dacă se intersectează), ambele coordonate vor fi aceleași, de unde următoarea egalitate:
Pentru a obține valoarea lui această expresie se rearanjează:
de unde:
Pentru a găsi coordonata se înlocuiește valoarea lui în oricare dintre cele două ecuații liniare, de exemplu, în prima:
Prin urmare, punctul de intersecție este:
De observat că dacă atunci cele două drepte sunt paralele și nu se intersectează, cu excepția cazului în care caz în care dreptele coincid și se intersectează în fiecare punct.
Folosind coordonate omogene Prin utilizarea coordonatelor omogene, punctul de intersecție a două drepte definite implicit poate fi determinat destul de ușor. În spațiul bidimensional, fiecare punct poate fi definit ca o proiecție a unui punct tridimensional, dat ca triplet ordonat . Aplicarea coordonatelor tridimensionale pe cele bidimensionale este Se pot converti punctele bidimensionale în coordonate omogene definindu-le ca
Presupunând că se dorește găsirea intersecției a două drepte infinite în spațiul bidimensional, definite ca și . Se pot reprezenta aceste două linii în coordonate liniare drept și . Intersecția a două drepte este apoi dată de:
Dacă , dreptele nu se intersectează.
Mai multe de două drepte Intersecția a două drepte poate fi generalizată pentru a trata drepte suplimentare. Existența și expresia pentru problema intersecției a drepte sunt următoarele.
În două dimensiuni Într-un spațiu bidimensional este aproape sigur că mai mult de două drepte nu se intersectează într-un singur punct. Pentru a determina dacă se intersectează și, dacă da, pentru a găsi punctul de intersecție, se scrie ecuația ) ca:
și se aranjează aceste ecuații sub formă de matrice:
unde linia a matricei este , este vectorul 2 × 1 , iar elementul din vectorul coloană este . Dacă are coloane independente rangul său este 2. Dacă și numai dacă rangul matricei extinse este și el 2, atunci există o soluție a ecuației matriciale, deci un punct de intersecție al celor drepte. Acest punct, dacă există, este:
unde este inversa generalizată Moore–Penrose a lui . Alternativ, soluția poate fi găsită prin rezolvarea împreună a oricăror două ecuații independente. Dar dacă rangul lui este doar 1, atunci dacă rangul matricei augmentate este 2 nu există soluție, dar dacă rangul său este 1, atunci toate dreptele respective coincid.
În trei dimensiuni Abordarea de mai sus poate fi extinsă cu ușurință la un spațiu tridimensional. În trei sau mai multe dimensiuni, chiar și două drepte aproape sigur nu se intersectează. Dar dacă există o intersecție, aceasta poate fi găsită după cum urmează.
În trei dimensiuni, o dreaptă este reprezentată prin intersecția a două plane, fiecare dintre ele având o ecuație de forma:
Astfel, un set de drepte poate fi reprezentat prin ecuații în vectorul de coordonate tridimensional :
unde acum este o matrice iar este una Ca și înainte, există un punct unic de intersecție dacă și numai dacă are un rang egal cu numărul coloanlor sale, iar matricea extinsă nu. Unica intersecție, dacă există, este dată de:
Cele mai apropiate puncte ale dreptelor care nu se intersectează thumb|PQ, cea mai mică distanță între dreptele AB și CD este lungimea segmentului perpendicular pe ambele
În două sau mai multe dimensiuni de obicei putem găsi un punct care este cel mai apropiat de două sau mai multe drepte în sensul metodei celor mai mici pătrate.
În două dimensiuni În cazul bidimensional, mai întâi se reprezintă dreapta prin punctul de pe dreaptă și versorul , perpendicular pe ea. Adică, dacă și sunt puncte de pe drepta 1, atunci fie și fie
care este versorul în direcția dreptei, rotit co 90°.
Distanța de la punctul la dreapta este dată de:
Și astfel, pătratul distanței de la un punct la o dreaptă este:
Suma pătratelor distanțelor la mai multe drepte este :
Aceasta poate fi aranjată sub forma:
Pentru a găsi minimul, se derivează în funcție de și se egalează rezultatul cu vectorul zero:
ca urmare:
și:
În mai multe de două dimensiuni Deși nu este bine definit în mai multe de două dimensiuni, acest lucru poate fi generalizat la orice număr de dimensiuni observând că este matricea simetrică cu toate valorile proprii egale cu unitatea, cu excepția unei valori proprii nule în direcția de-a lungul dreptei, oferind direcția distanței dintre și un alt punct care dă distanța până la dreaptă. În orice număr de dimensiuni, dacă este un versor de-a lungul dreptei , atunci devine unde este matricea unitate, iar astfel:
Obținerea în general Pentru a găsi punctul de intersecție al unui set de drepte, se calculează punctul cu distanța minimă față de acestea. Fiecare dreaptă este definită de o origine și un versor de direcție . Pătratul distanței de la un punct la una dintre drepte este dat de Pitagora:
unde este proiecția lui pe dreapta . Suma distanțelor la pătrat pentru toate dreptele este:
Pentru a minimiza această expresie, se derivează în funcție de iar derivata se egalează cu 0:
di care rezultă:
unde este matricea unitate. Aceasta este matricea , cu soluția , unde este (inversa generalizată) a lui .
În geometriile neeuclidiene
thumb|De la stânga la dreapta: geometrie euclidiană, geometrie sferică și geometrie hiperbolică Geometriile neeuclidiene, cum ar fi geometria sferică, descriu spații în care o dreaptă poate să nu fie paralelă cu nicio altă dreaptă, respectiv geometria hiperbolică, în care mai multe drepte care trec printr-un singur punct pot fi toate paralele cu o altă dreaptă.
Note
Vezi și Intersecția a două segmente de dreaptă Distanța dintre două drepte paralele Distanța de la un punct la o dreaptă Intersecția a două plane Axioma paralelelor
Legături externe
Distance between Lines and Segments with their Closest Point of Approach , applicable to two, three, or more dimensions.
Categorie:Algebră liniară Categorie:Algoritmi de geometrie Categorie:Geometrie euclidiană