Modelul Ising (sau modelul Lenz–Ising), numit după fizicienii și Wilhelm Lenz, este un model matematic al feromagnetismului în mecanica statistică. Modelul constă din care reprezintă momentele magnetice dipolare ale „spinurilor” atomice, fiecare putând lua una dintre două valori (+1 sau −1). Spinurile sunt plasate pe nodurile unui , de obicei într-o rețea periodică, permițând fiecărui spin să interacționeze cu vecinii săi. Spinurile vecine care sunt aliniate au o energie mai mică decât cele nealiniate; sistemul tinde către starea de energie minimă, însă agitația termică perturbă această tendință, făcând posibilă apariția unor faze diferite. Modelul Ising pe rețea pătrată bidimensională este unul dintre cele mai simple modele statistice care prezintă o transformare de fază.Vezi , capitolele VI–VII.
Deși este un model extrem de simplificat al unui material magnetic, modelul Ising poate oferi rezultate calitative și uneori cantitative aplicabile sistemelor fizice reale și, în general, poate fi privit ca un caz particular al al lui Stanley pentru .
Modelul Ising a fost introdus de fizicianul Wilhelm Lenz (1920), care i-a propus problema studentului său Ernst Ising. Modelul Ising unidimensional a fost rezolvat de în teza sa din 1924;Ernst Ising, Contribution to the Theory of Ferromagnetism acesta nu prezintă transformare de fază. Modelul Ising bidimensional pe rețea pătrată este mult mai dificil și a primit o descriere analitică abia mai târziu, de către Lars Onsager (1944). De obicei este rezolvat prin metoda matricii de transfer, deși există și o abordare foarte simplă care leagă modelul de o teorie cuantică a câmpurilor fermionică fără interacțiuni.
În dimensiuni superioare, transformarea de fază a modelului Ising este descrisă de . Modelul Ising în dimensiuni superioare a fost studiat și pentru diverse topologii de arbori în anii 1970, culminând cu o soluție exactă a modelului fără câmp extern și independent de timp pentru arbori Cayley închiși cu raport de ramificare arbitrar. Soluția acestui model a evidențiat un comportament neobișnuit al tranziției de fază, împreună cu corelații spin–spin pe distanță lungă și între vecini apropiați diferite de zero, considerate relevante pentru rețele neurale de mari dimensiuni ca una dintre posibilele sale aplicații.
Problema Ising fără câmp extern poate fi formulată echivalent ca o problemă de (Max-Cut) într-un graf, care poate fi rezolvată prin .
Definiție
Fie o mulțime de noduri ale unei rețele, fiecare având un set de noduri adiacente (de exemplu într-un graf) care formează o rețea de dimensiune . Pentru fiecare nod există o variabilă discretă cu valori , reprezentând spinul acelui nod. O configurație de spin, , este o atribuire a valorilor spinului fiecărui nod al rețelei.
Pentru orice două noduri adiacente există o interacțiune . De asemenea, fiecare nod poate interacționa cu un câmp magnetic extern . Energia unei configurații este dată de hamiltonian
Prima sumă se face peste perechile de spini vecini (fiecare pereche fiind numărată o singură dată). Notația indică faptul că nodurile și sunt vecini apropiați. reprezintă momentul magnetic. Semnul termenului cu câmpul extern este ales convențional.Vezi , capitolul 16.
Probabilitatea unei configurații este dată de cu :
unde , iar
este .
Pentru o funcție a spinurilor (o observabilă), valoarea medie este
Probabilitățile reprezintă probabilitatea ca sistemul să se afle într-o stare cu configurația la echilibru.
Discuție
Semnul minus din hamiltonian este convențional. În funcție de semnul interacțiunii :
dacă , interacțiunea este feromagnetică; dacă , interacțiunea este antiferomagnetică; dacă , spinurile nu interacționează.
Într-un model Ising feromagnetic, spinurile tind să se alinieze. Într-un model antiferomagnetic, spinurile vecine tind să fie opuse.
Semnul hamiltonianului explică și interacțiunea cu câmpul extern:
dacă , spinul tinde să se alinieze pozitiv; dacă , spinul tinde să se alinieze negativ; dacă , nu există influență externă.
Simplificări
Adesea modelul este studiat fără câmp extern, adică . În acest caz
De asemenea, se presupune frecvent că toate interacțiunile dintre vecini sunt identice: . Hamiltonianul devine
Legătura cu problema tăieturii maxime
Pentru modelul Ising fără câmp extern pe un graf , hamiltonianul poate fi scris
Fiecare configurație de spin împarte mulțimea vârfurilor în două submulțimi: cele cu spin pozitiv și cele cu spin negativ. Muchiile care conectează aceste două submulțimi formează o tăietură a grafului. Astfel, minimizarea energiei modelului Ising este echivalentă cu maximizarea mărimii tăieturii, adică cu problema (Max-Cut).
Întrebări
Numeroase întrebări statistice se referă la limita unui număr mare de spini:
Într-o configurație tipică, majoritatea spinurilor sunt +1 sau −1, sau apar în proporții egale? Dacă spinul într-o poziție i este +1, care este probabilitatea ca spinul într-o poziție j să fie tot +1? Dacă se modifică , apare o transformare de fază? Pe o rețea , care este dimensiunea fractală a unui cluster mare de spini +1?
Proprietăți de bază și istorie
Cel mai studiat caz al modelului Ising este modelul feromagnetic fără câmp extern invariant la translații pe o rețea de dimensiune d, adică Λ = ℤd, Jij = 1 și h = 0.
Lipsa tranziției de fază în unidimensionalitate În teza sa de doctorat din 1924, Ising a rezolvat modelul pentru cazul d = 1, care poate fi interpretat ca o rețea liniară în care fiecare nod interacționează doar cu vecinii din stânga și din dreapta. În unidimensionalitate, soluția nu prezintă transformare de fază.
Mai precis, pentru orice β pozitiv, corelațiile ⟨σiσj⟩ scad exponențial cu distanța |i − j|:
iar sistemul rămâne dezordonat. Pe baza acestui rezultat, Ising a concluzionat în mod eronat că modelul nu prezintă comportament de fază în nicio dimensiune.
Tranziția de fază și soluția exactă în bidimensionalitate Modelul Ising prezintă o transformare de fază între o fază ordonată și o fază dezordonată în bidimensionalitate sau mai multe. Pentru valori mici ale lui β sistemul este dezordonat, iar pentru valori mari ale lui β apare ordinea feromagnetică:
Acest rezultat a fost demonstrat pentru prima dată de Rudolf Peierls în 1936, folosind ceea ce astăzi se numește argumentul lui Peierls.
Modelul Ising pe rețea pătrată bidimensională fără câmp magnetic a fost rezolvat analitic de Lars Onsager în 1944. Onsager a obținut și energie liberă ale modelului și a anunțat formula pentru în 1949, fără a publica demonstrația. Prima demonstrație publicată a fost dată de , folosind o formulă de limită pentru .
Inegalități de corelație Pentru corelațiile spinurilor în modelul Ising au fost demonstrate riguros mai multe , valabile pentru structuri generale de rețea. Aceste rezultate au permis matematicienilor să studieze modelul Ising atât în punctul critic, cât și în afara lui.
Inegalitatea Griffiths
Pentru orice submulțimi de spini și pe rețea, este valabilă inegalitatea
unde
Pentru cazul particular rezultă .
Aceasta arată că spinurile sunt corelate pozitiv într-un feromagnet Ising. O consecință imediată este că magnetizarea oricărui set de spini crește odată cu constantele de cuplaj .
Inegalitatea Simon–Lieb
Inegalitatea Simon–Lieb afirmă că pentru orice mulțime care separă punctele și ,
Această inegalitate poate fi folosită pentru a demonstra caracterul abrupt al tranziției de fază în modelul Ising.
Inegalitatea FKG
Această inegalitate a fost demonstrată inițial pentru un model de percolație cu corelații pozitive, care include o reprezentare a modelului Ising. Ea este utilizată pentru determinarea temperaturilor critice ale modelului Potts plan folosind argumente de percolație.
Semnificație istorică
Legile legăturilor chimice au convins chimiștii secolului al XIX-lea că atomii sunt reali, însă printre fizicieni dezbaterea a continuat până în secolul XX. Atomismul, susținut de James Clerk Maxwell și Ludwig Boltzmann, explica proprietățile gazelor prin mecanica statistică. Totuși, mecanica statistică clasică nu explica complet proprietățile lichidelor și solidelor sau comportamentul gazelor la temperaturi joase.
Odată cu apariția mecanicii cuantice, atomismul nu a mai fost în conflict cu experimentele, însă acceptarea universală a mecanicii statistice nu a venit imediat.
Josiah Willard Gibbs formulase deja cadrul matematic complet pentru derivarea legilor termodinamicii din legile mecanicii. Totuși, multe argumente greșite din secolul al XIX-lea au persistat, deoarece sistemele statistice infinite au proprietăți radical diferite de cele finite: o modificare infinitezimală a unui parametru poate produce schimbări macroscopice ale comportamentului sistemului.
Lipsa transformărilor de fază în volum finit
La începutul secolului XX s-a argumentat că nu poate descrie transformări de fază:
Funcția de partiție este o sumă de termeni de forma e−βE. Funcția exponențială este funcție analitică în β. Suma funcțiilor analitice este analitică.
Acest argument este corect pentru sisteme finite. În limita termodinamică (sisteme infinite), suma infinită poate genera singularități, ceea ce permite apariția transformărilor de fază.
Picături Peierls
Peierls a demonstrat explicit existența unei transformări de fază bidimensionale comparând limitele de temperatură mare și mică.
La temperatură infinită (β = 0) toate configurațiile sunt la fel de probabile. Spinurile sunt complet independente și configurațiile arată ca un zgomot aleator.
La temperaturi scăzute, configurațiile sunt apropiate de starea de energie minimă, în care toate spinurile sunt + sau toate sunt −. Peierls a arătat că formarea unor regiuni locale („picături”) de spin opus este energetic costisitoare, deoarece energia lor crește proporțional cu perimetrul regiunii.
Probabilitatea apariției unei astfel de regiuni este proporțională cu
unde L este perimetrul. Aceasta suprimă exponențial fluctuațiile mari, astfel încât magnetizarea rămâne apropiată de ±1 la temperaturi joase.
Dualitatea Kramers–Wannier
Kramers și Wannier au arătat că dezvoltările la temperatură mare și la temperatură mică ale modelului sunt echivalente până la o rescalare a energiei libere. Aceasta a permis determinarea exactă a punctului critic în modelul bidimensional.
Zerourile Yang–Lee
După soluția lui Onsager, Yang și Lee au studiat modul în care funcția de partiție devine singulară atunci când temperatura se apropie de temperatura critică.
Aplicații
Magnetism
Motivația inițială a modelului a fost explicarea fenomenului de feromagnetism. Fierul este magnetic: odată magnetizat, el rămâne magnetizat pentru o perioadă lungă de timp.
În secolul al XIX-lea se credea că magnetismul provine din curenți electrici în materie, iar André-Marie Ampère a sugerat existența unor curenți atomici permanenți. Totuși, mișcarea clasică a sarcinilor electrice nu putea explica existența unor curenți permanenți, așa cum a arătat Joseph Larmor.
După descoperirea spinului electronului, s-a înțeles că magnetismul provine din alinierea unui număr mare de spini electronici. Modelul Ising a fost conceput pentru a studia dacă o fracțiune mare de spini poate deveni aliniată folosind doar interacțiuni locale.
Gaz pe rețea
Modelul Ising poate fi reinterpretat ca un model statistic pentru mișcarea atomilor. Într-o aproximare grosieră, spațiul este discretizat într-o rețea, iar fiecare nod poate fi ocupat de un atom sau poate fi liber.
Spațiul configurațiilor este format din variabile binare Bi care pot lua valorile 0 sau 1. Interacțiunile atractive reduc energia atomilor vecini.
Energia sistemului este
Rescriind variabilele binare în funcție de spinuri,
energia devine
Pentru rețele în care fiecare nod are același număr de vecini, aceasta este forma modelului Ising într-un câmp magnetic extern.