Polinomul zero, numit și polinom nul, este polinomul ai cărui coeficienți sunt toți egali cu zero. Într-un inel de polinoame , el este elementul neutru al adunării și se notează de obicei cu .
Polinomul zero are un rol particular în gradul unui nod, în divizibilitate și în enunțurile despre numărul rădăcinilor. Spre deosebire de un polinom constant nenul, el nu are niciun termen care are coeficientul nenul. Din acest motiv, definiția obișnuită a gradului nu i se aplică direct și gradul său este lăsat nedefinit sau este stabilit convențional ca sau , în funcție de context.
Funcția polinomială asociată polinomului zero este funcția nulă. Reciproca nu este valabilă peste orice inel. Polinoame formale nenule pot avea toate valorile nule, în particular peste corpuri finite. Peste un corp comutativ infinit, însă, numai polinomul zero determină funcția polinomială nulă.
Definiție și reprezentare
În cazul unui corp comutativ, fie un inel comutativ cu unitate. Un polinom într-o nedeterminată , cu coeficienți în , este o expresie formală , în care numai un număr finit de coeficienți sunt nenuli. Echivalent, el poate fi definit ca șirul , cu suport finit. Polinomul zero este șirul , unde este elementul zero al inelului coeficienților.Mihai Gontineac, Algebră liniară. Curs 2, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, Facultatea de Matematică, material de curs, p. 1, definiția polinoamelor ca șiruri de coeficienți și polinomul nul
Definiția se exprimă prin echivalența . Notația desemnează polinomul unic determinat de această condiție, indiferent de numărul de coeficienți nuli scriși efectiv.Dumitru Bușneag, Dana Piciu, Lecții de algebră, Editura Universitaria, Craiova, 2002, cap. IV, pp. 221–224Același simbol poate desemna elementul zero al lui , polinomul zero din sau funcția nulă. Când distincția este necesară, se pot utiliza notațiile , și .
Astfel, , și sunt reprezentări ale aceluiași polinom. Scrierea ilustrativă indică faptul că fiecare coeficient este nul. Ea nu introduce, însă, o problemă de convergență și nici nu transformă obiectul într-o serie convergentă. O reprezentare cu mai mulți termeni nuli nu formează direct un polinom diferit și nu îi atribuie un grad mai mare.
În general, egalitatea polinoamelor se verifică după coeficienții puterilor corespunzătoare ale lui , completând, dacă este necesar, listele cu zerouri. Unicitatea polinomului zero rezultă atât din această definiție a egalității, cât și din unicitatea elementului neutru într-un grup comutativ.
Relația cu polinoamele constante
Aplicația , , identifică inelul coeficienților cu subinelul polinoamelor care nu depind de . În acest caz, polinomul zero este un polinom constant, corespunzător constantei . Această încadrare nu presupune, însă, că gradul său este zero.Dumitru Bușneag, Dana Piciu, Lecții de algebră, Editura Universitaria, Craiova, 2002, cap. IV, pp. 225–227
Terminologia poate depinde de definiția adoptată pentru „polinom constant”. Dacă această denumire este rezervată polinoamelor de grad zero, polinomul nul este tratat separat. În convenția în care polinomului nul i se atribuie gradul , polinoamele constante de grad zero sunt cele nenule. Astfel, afirmația este că orice polinom constant nenul are gradul zero. De exemplu, în , polinomul are gradul , în timp ce polinomului i se aplică convenția specială adoptată.
Gradul polinomului zero
Pentru un polinom nenul , gradul este definit ca cel mai mare indice corespunzător unui coeficient nenul, adică . În acest caz, mulțimea indicilor coeficienților nenuli este finită și nevidă, astfel încât maximul său există. În cazul polinomului zero, toți coeficienții sunt nuli, iar mulțimea respectivă este vidă, așadar, definiția obișnuită a gradului pentru polinoamele nenule nu îi atribuie acestuia un grad în .
O particularitate similară apare în cazul coeficientului director, denumit și coeficient dominant. Pentru un polinom nenul de grad , coeficientul director este , iar reprezintă termenul de grad maxim. În cazul polinomului zero, toți coeficienții sunt nuli, astfel încât nu există un coeficient director sau termen dominant în sensul definițiilor aplicabile polinoamelor nenule.Aurelian Claudiu Volf, Aritmetică în inele, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, Facultatea de Matematică, note de curs, versiunea 2020, anexa 1, „Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale”, pp. 115–119
Grad nedefinit
O convenție constă în definirea gradului numai pentru polinoamele nenule. În acest caz, gradul polinomului zero rămâne nedefinit, astfel încât expresiei nu i se atribuie nicio valoare. Adoptarea acestei convenții presupune formularea corespunzătoare a proprietăților gradului atunci când în operațiile considerate poate interveni polinomul zero.James Aspnes, Polynomials, Yale University, Department of Computer Science, note de curs din colecția PineWiki, „Division of polynomials”Bruce Ikenaga, Polynomial Rings, Millersville University, material universitar de algebră abstractă.
În această convenție, rezultatele care implică gradul trebuie formulate astfel încât cazul polinomului zero să fie separat. De exemplu, în teorema împărțirii cu rest, pentru și există polinoamele și astfel încât , iar condiția asupra restului se exprimă prin sau , deoarece nu este definit atunci când . În mod asemănător, relația se formulează în cazul în care . Dacă termenii de grad maxim se anulează până la obținerea polinomului zero, gradul sumei rămâne nedefinit. Gradul are astfel valori în numai pentru polinoamele nenule.
Convenția gradului egal cu minus infinit
O altă convenție atribuie polinomului zero gradul , adică .Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, ediția a IV-a, Springer, seria Undergraduate Texts in Mathematics, 2024 Valoarea nu reprezintă în acest context un număr întreg negativ, ci un simbol adăugat mulțimii valorilor posibile ale gradului, considerat mai mic decât orice număr natural. Convenția permite extinderea noțiunii de grad la toate polinoamele și uniformizarea mai multor relații care, în cazul gradului nedefinit pentru polinomul zero, necesită tratarea separată a acestuia.
Pentru utilizarea acestei convenții se adoptă relațiile și pentru , precum și . În acest fel, proprietățile gradului pot fi formulate într-un cadru extins, în care polinomului zero îi este asociată o valoare compatibilă formal cu operațiile care intervin în asemenea relații.
Pentru polinoamele , relația poate fi formulată fără excluderea cazului în care unul dintre polinoame sau suma lor este zero. Dacă , atunci , iar . Dacă , membrul stâng devine , astfel încât inegalitatea rămâne valabilă.
De exemplu, pentru și se obține , deci , în timp ce .
Comportamentul gradului față de înmulțire depinde și de proprietățile inelului coeficienților. Dacă este un domeniu de integritate, atunci pentru orice este valabilă relația , inclusiv atunci când unul dintre factori este polinomul zero. În acest caz din urmă, produsul este zero, iar egalitatea este compatibilă cu regula . Pentru doi factori nenuli, egalitatea rezultă din faptul că produsul coeficienților directori este nenul într-un domeniu de integritate.
În cazul unui inel comutativ care conține divizori ai lui zero, egalitatea gradelor produsului nu mai este garantată. În general se păstrează inegalitatea , deoarece coeficientul termenului care ar avea gradul egal cu suma gradelor factorilor se poate anula. Convenția nu modifică această proprietate algebrică a inelului coeficienților și nu transformă inegalitatea într-o egalitate.
Un alt caz apare atunci când produsul a două polinoame nenule este chiar polinomul zero. De exemplu, în , polinomul este nenul și are . Deoarece în , rezultă . Prin convenția adoptată, , în timp ce . Exemplul arată că atribuirea valorii gradului polinomului zero permite extinderea unor relații privind gradul în cazul în care intervine polinomul zero, dar nu asigură egalitatea atunci când inelul coeficienților conține divizori ai lui zero.
Convenția gradului egal cu minus unu
O altă convenție atribuie polinomului zero gradul , adică . Valoarea aleasă este mai mică decât gradele tuturor polinoamelor nenule, ale căror grade aparțin lui . Convenția este întâlnită inclusiv în contexte algoritmice și de calcul simbolic, unde permite reprezentarea gradului printr-o valoare întreagă și rezervarea valorii pentru cazul în care nu există niciun coeficient nenul.Robert Sedgewick, Kevin Wayne, Polynomial.java, Princeton University, Algorithms, 4th Edition, clasa Polynomial, câmpul degree și metodele reduce() și degree()
Prin această convenție, unele proprietăți ale gradului pot fi formulate fără separarea explicită a polinomului zero. Pentru polinoamele și , inegalitatea rămâne compatibilă cu situația în care suma este zero. Dacă , atunci , iar este pozitiv atunci când și sunt nenule. Inegalitatea rămâne astfel valabilă și atunci când suma este polinomul zero. În mod similar, la împărțirea cu rest la un polinom nenul , condiția cuprinde și cazul restului nul, deoarece , în timp ce .
Convenția nu este însă compatibilă cu formula pentru toate perechile de polinoame dacă în partea dreaptă se folosește adunarea obișnuită a numerelor întregi. Dacă și , atunci și, prin convenție, . În schimb, . Atunci când gradului polinomului zero i se atribuie valoarea , egalitatea rămâne valabilă pentru polinoame nenule, cu condiția ca produsul coeficienților lor directori să fie nenul.
Valoarea atribuită gradului polinomului zero este convențională și nu corespunde existenței unui termen de grad sau a unei puteri . Polinomul zero are în continuare toți coeficienții nuli și nu are termen dominant. Convențiile și atribuie astfel o valoare gradului într-un caz în care definiția nu este aplicabilă, deoarece pentru polinomul zero mulțimea indicilor coeficienților nenuli este vidă.
Compararea convențiilor
Cele trei convenții nu modifică definiția polinomului zero și nici operațiile efectuate cu polinoame. Diferența privește exclusiv modul în care noțiunea de grad este tratată în cazul polinomului zero. Alegerea convenției influențează însă forma în care pot fi exprimate anumite proprietăți generale ale gradului, deoarece atribuirea valorilor sau permite includerea polinomului zero în unele relații fără formularea separată a acestui caz.
+ Compararea convențiilor pentru gradul polinomului zero Proprietate Grad nedefinit Valoarea gradului Nu se atribuie nicio valoare Domeniul valorilor gradului , numai pentru polinoamele nenule Condiția asupra restului la împărțirea cu un polinom sau Inegalitatea pentru gradul sumei atunci când gradele implicate sunt definite , inclusiv când unul dintre polinoame sau suma este zero , inclusiv când unul dintre polinoame sau suma este zero Gradul produsului într-un domeniu de integritate pentru pentru toate , folosind pentru . Egalitatea nu se păstrează pentru un factor nul cu adunarea obișnuită a întregilor
Convenția permite formularea uniformă a unui număr mai mare de proprietăți ale gradului. De exemplu, atât inegalitatea pentru gradul unei sume, cât și egalitatea într-un domeniu de integritate pot include polinomul zero, dacă pentru sunt folosite regulile de calcul corespunzătoare. În convenția , inegalitatea referitoare la sumă și condiția asupra restului pot include cazul nul fără o precizare separată, însă egalitatea pentru gradul produsului rămâne restrânsă la factorii nenuli dacă se utilizează adunarea obișnuită a numerelor întregi. Dacă gradul polinomului zero este lăsat nedefinit, proprietățile gradului își păstrează formularea obișnuită pentru polinoamele nenule, iar situațiile în care apare polinomul zero sunt precizate separat.
Proprietăți algebrice
Polinomul zero este elementul neutru al adunării în inelul . Pentru orice au loc relațiile și . Opusul polinomului zero este tot polinomul zero, adică . Aceste proprietăți rezultă direct din definiția operațiilor în , deoarece adunarea și luarea opusului se efectuează coeficient cu coeficient.