miniatura|Șirul este o progresie aritmetică, deoarece orice termen x are o relație cu termenul precedent.(x1 + 2 = x2) O progresie aritmetică este un șir de numere astfel încât diferența dintre termenii consecutivi este constantă. De exemplu șirul 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... este o progresie aritmetică cu o diferență comună de 2.
Definiție O progresie aritmetică este un șir de numere caracterizat printr-o diferență constantă între oricare doi termeni consecutivi. Ele sunt de forma , adică cu relațiile: (formula generală); (formula recurentă); . unde este rangul (poziția) termenului în șir (). este primul termen, este al doilea termen etc., iar este rația progresiei ().
Proprietăți Orice termen al unei progresii aritmetice (cu excepția capetelor) este media aritmetică a predecesorului și succesorului său:
proprietate de la care îi vine și denumirea.
Exemple de progresii aritmetice Șirul numerelor naturale: 0, 1, 2, 3, 4, ... este o progresie aritmetică având rația 1 și primul termen 0; Șirul numerelor naturale impare: 1, 3, 5, 7, ... progresie aritmetică cu rația 2 și primul termen 1.
Suma termenilor unei progresii aritmetice Suma primilor n termeni dintr-o progresie aritmetică se poate calcula astfel:
Demonstrație
Însumând cele două relații se obține:
Istoric Se spune ca această formulă ar fi fost descoperită de către Gauss pe când era în clasele primare și a fost pedepsit să adune toate numerele de la 1 la 100. Acesta a format 50 de grupe identice prin însumarea termenilor, în perechi de două numere, în felul următor: termenul de pe prima poziție (1) cu cel de pe ultima (100) formau o pereche, termenul de pe a doua poziție (2) cu penultimul termen (99) formau altă pereche și așa mai departe. În acest fel fiecare pereche are valoarea constantă de 101. Chiar dacă faptul ar fi adevărat, Gauss nu a fost primul care a descoperit această formulă, iar unii consideră că este probabil ca originea ei să fie la pitagoricieni, în secolul al V-lea î.Hr. Høyrup, J. The “Unknown Heritage”: trace of a forgotten locus of mathematical sophistication. Arch. Hist. Exact Sci. 62, 613–654 (2008). https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y Reguli similare erau cunoscute în antichitate de Arhimede, Hypsicles și Diofant; în China de Zhang Qiujian; în India de Aryabhata, Brahmagupta și Bhaskara II; și în Europa medievală de Alcuin, Problems to Sharpen the Young, John Hadley and David Singmaster, The Mathematical Gazette, 76, #475 (March 1992), pp. 102–126. Dicuil, Ross, H.E. & Knott,B.I (2019) Dicuil (9th century) on triangular and square numbers, British Journal for the History of Mathematics, 34:2, 79-94, https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687 Fibonacci, Sacrobosco și de comentatori anonimi ai Talmudului, cunoscuți ca tosafiști. Stern, M. (1990). 74.23 A Mediaeval Derivation of the Sum of an Arithmetic Progression. The Mathematical Gazette, 74(468), 157-159. doi:10.2307/3619368
Note
Bibliografie E. Rogai, Tabele și formule matematice, Editura Tehnică Arithmetic progression, at Mathworld.wolfram.com
Vezi și Progresie geometrică Progresie armonică
Legături externe
Categorie:Serii matematice Categorie:Șiruri și serii Categorie:Medii