Rezonatorul lui Planck este un model simplu pentru constituenții materiei aflați în interacție cu radiația electromagnetică. Este o particulă materială, cu masa m și sarcina e (nu neapărat cea a electronului) și care este mobilă sub acțiunea unei forțe elastice (proporțională cu distanța x la un centru fix: F = -kx) și a unui câmp electromagnetic. Mișcarea este presupusă unidimensională și este - în absența altor interacții - oscilatorie (armonică) împrejurul centrului fix. Ca urmare a acestei mișcări, rezonatorul emite radiație și deci pierde energie, dar câștigă în același timp energie de la câmpul electromagnetic înconjurător. Intereseaza atât stările de echilibru ale oscilatorului, în care mișcarea sa este periodică și energia radiată este egală cu cea absorbită, cât și modul în care echilibrul este restabilit atunci când este perturbat.
Deși modelul este foarte simplu, el este suficient pentru studiul „radiației corpului negru”- radiația electromagnetică având acea distribuție de intensitate după frecvențe care se stabilește atunci când este în echilibru cu materia la o temperatură dată. După legile lui Kirchhoff (consecințe ale principiului al doilea al termodinamicii) aceasta distributie este universală, adică independentă de material, ceea ce Max Planck a socotitMax Planck,(1900-2),op.cit.,p.722-723 că îl îndreptățește să o studieze și folosind un material ipotetic format din oscilatori (rezonatori) armonici.
Studiul echilibrului și al stărilor apropiate de el se poate conduce numai cu anumite ipoteze suplimentare asupra oscilatorului și a radiației înconjurătoare; aceste ipoteze sunt și ele cuprinse în noțiunea de „rezonator al lui Planck” și vor deveni explicite in cursul articolului.
În afară de masa m și sarcina e, rezonatorul este caracterizat de frecvența sa proprie „circulară”, ω0, legată de constanta k a forței elastice prin k = mω02. Frecvența proprie „normală” (numărul de oscilații pe secundă) este ν0 = ω0/2π.
Studiul detaliat al rezonatorului duce la două formule ((1) și (2) de mai jos) care, confruntate cu evidența experimentală, l-au condus pe Max Planck la ideea că emisia radiației are un caracter discret. Prima dintre ele descrie evoluția în timp a energiei (judicios mediate) U a oscilatorilor cu frecvența proprie ω0= 2πν0 în funcție de intensitatea I(ν0,t) a radiației incidente (c este aici viteza luminii): La echilibru, energia medie este constantă, intensitatea este independentă de timp și obținem relația între energia medie a oscilatorilor și intensitatea „radiației corpului negru”: După Planck, o colecție de N astfel de rezonatori (cu aceeași frecvență proprie) poate fi privită ca un sistem termodinamic chiar în absența câmpului electromagnetic și i se poate atribui o temperatură și o entropie So(U,N, ν0) ; de asemenea radiația electromagnetică de aceeasi frecvență (în echilibru cu materia) are o entropie (vezi Entropia radiației electromagnetice). În echilibru unul cu celălalt, cele două sisteme au aceeași temperatură. Mai mult, dacă energia medie a oscilatorilor are o abatere ΔU față de valoarea ei de echilibru, atunci are loc un proces ireversibil de apropiere de echilibru, în timpul căruia entropia totala St a sistemului oscilatori + radiație crește cu rata: unde So este entropia (numai a) sistemului de rezonatori. Functia So(U,N,ν0) este aici necunoscută; pentru ca apropierea de echilibru să fie legată de o creștere a entropiei este însă suficient ca d2So/dU2<0. După Planck, cele două formule (1) și (2) reprezintă tot ceea ce poate spune fizica clasică despre echilibrul materie - radiație.
În acest articol sunt schițate argumentele lui Max Planck pentru formulele (1) și (2), urmărind cartea lui Max Planck, op.cit (1906) și articolele premergătoare și imediat ulterioareMax Planck, articolele citate, 1896-1903) stabilirii formulei sale cunoscute. Aceasta este o completare ceva mai tehnică la articolul despre Formula lui Planck, dar accesibil oricărei persoane cu educație tehnico-matematică. Deși aceste dezvoltări au jucat un rol mare în apariția mecanicii cuantice, ele nu se găsesc în manuale și, datorită interesului lor istoric, este probabil că Wikipedia este un loc bun pentru a le face accesibile. Articolul prezent nu redă toate detaliile dezvoltărilor lui Planck, pentru care trebuie folosită literatura citată, și folosește un limbaj „post-Planck”: o serie de metode sunt cuprinse implicit în articolele sale, dar sau sunt cunoscute acum sub numele altor persoane, chiar din generații mai târzii (ecuația Abraham-Lorentz, funcția lui Dirac) sau au intrat „în modă” mai târziu (funcțiile complexe în tratamentul oscilațiilor).
Ecuația de mișcare a rezonatorului Ecuația Abraham-Lorentz
Rezonatorul este presupus că are o mișcare exclusiv liniară; ea este descrisă de o singură funcție x(t), deplasarea sa de-a lungul „axei” sale. Emițând radiație, oscilatorul pierde energie, analog cu frecarea. Totuși, este o diferență: forța de frecare „obișnuită” este sau statică sau depinde cel mult de viteză (de exemplu formula lui Stokes pentru mișcarea unei sfere mici într-un lichid vîscosde exemplu, A.Cișman, op.cit.), dar o particula încărcată emite radiație numai când este accelerată. O formulă scrisă în 1897 de către J.Larmor (Calculele lui Max PlanckM.Planck (1896),op.cit. conduc la aceleași concluzii, dar sunt mai lungi) arată aceasta explicit: puterea radiată de o sarcină cu accelerația a este Drept consecință, dacă mișcarea este oscilatorie cu frecvența ν și amplitudinea A: puterea medie radiată este dată de formula lui Hertz (1886): unde U este energia oscilatorului : Efectul radiației asupra mișcării oscilatorului poate fi reprodus de o forță suplimentară FradUrmărim aici pe J.D.Jackson,op.cit. cap.17,§17.2 ,p.582 : unde F reprezintă celelalte forțe (electrice, armonice, etc.) Variația energiei cinetice W = m(dx/dt)2/2 într-un timp t este : Estimăm acum aceeași mărime cu ajutorul formulei lui Larmor: Dacă mișcarea este periodică cu perioada T, primul termen se anulează la t=nT și deducem, comparând cele două ecuații de mai sus: Într-o primă aproximație se poate satisface această egalitate anulând paranteza pentru orice t. Se obține astfel ecuația Abraham-Lorentz Max Abraham a fost asistentul lui Max Planck între 1896 și 1900 de mișcare: unde E(t) este un câmp exterior, presupus cunoscut.pentru oscilatorul armonic, această ecuație este obținută de Max Planck în 1896, M.Planck (1896), op.cit.; există aproximații superioare ale ei, legate de problema energiei proprii a electronului, vezi J.D.Jackson, op.cit.cap.17
Coeficientul efectiv de frecare
Ecuația (A-L) este de ordinul trei și se vede repede că nu poate reda realitatea corect: ecuația omogenă (E=0) are trei exponenți caracteristicivezi orice carte de ecuații diferențiale, de exemplu A.Haimovici, op.cit.,cap.12, §5 : doi complecși (conjugați), care corespund unor mișcări exponențial atenuate și unul real negativ, care corespunde unei mișcări nemărginite în timp, fără interpretare fizică.Aceștia sunt(: până la ordinul ε2. Numai acele soluții ale ecuației (A-L) pot fi folosite care nu conțin nici o contribuție de la soluția exponențial crescătoare. Mulțimea acestor soluții poate fi prezentată ca mulțimea solutiilor unei ecuații diferențiale de ordinul doi, cu termenul liber modificat corespunzător. Aceasta este (in esență) procedura lui Max Planck . Pentru aceasta scriem soluția generală mărginită a ecuației (A-L) : cu f(t) o soluție particulară a ecuației (A-L), și x±(t) soluțiile ecuației omogene corespunzătoare celor două rădăcini complex conjugate λ±. Derivând ambii membri ai acestei ecuații de două ori, exprimând pe C± în funcție de x(t),dx/dt și folosind expresiile lor în formula pentru d2x/dt2 obținem ecuația căutată: Coeficienții ecuației sunt corecți până la ordinul ε2. Pentru a stabili ordinele de mărime, presupunem că E(t) are o dependență oscilatorie (armonică) de timp, cu frecvența ω: E(t) = E0exp(iωt). Poate fi găsită atunci o soluție particulară f(t) cu aceeași frecvență (calcule analoage se găsesc mai jos) și putem estima: Dacă e si m sunt valorile pentru electroni (e=4.8×10−10 fr, m= 9×10−28 g)aceste valori nu erau cunoscute pe vremea lui Planck, ci numai aproximativ ordinul de mărimede fapt,valori mai precise ale constantelor fundamentale au fost posibile numai cu ajutorul formulei lui Planck și au fost determinate de el însuși, Planck (1901-2, op.cit.) termenul ε/m este ca.6×10−24s; ultimii doi termeni din ecuația de mai sus sunt neglijabili câtă vreme ωε/m<<1. Această frecvență corespunde unei perioade de ca 4×10−23 s, adică unei lungimi de undă λ ≈ 10−13 cm. Aceasta este în domeniul razelor gamma și deci departe de regiunea vizibilă pe care o studiem. De aceea, ignorăm ultimii doi termeni ai ecuației si descriem „efectiv” mișcarea rezonatorului lui Planck prin: In ecuație a apărut o forță de frecare proporțională cu viteza: această forță reprezintă efectul radiațieiPoate părea ciudat că deducem o ecuație pornind de la soluțiile ei; ecuația oscilatorului armonic este însă o „cărămidă” fundamentală a fizicii și o serie de proprietăți se pot citi direct din ea. Rata medie (dU/dt)γ de variație a energiei U a oscilatorului pe unitatea de timp grație acestui factor este: adică exact formula lui Hertz (H).
Estimări numerice
Rezonatorul lui Planck este slab amortizat: pentru ω0 = 3×1015(1/s) (corespunzător lungimii de undă a luminii roșii), γ este 5.4×107(1/s), ceea ce înseamnă că îi trebuie un timp de ca 2×10−6 secunde pentru a-și reduce amplitudinea cu un factor 1/e0=0.367din cauză că e este sarcina electronului, notăm cu e0 baz alogaritmilor naturali. Deoarece perioada de oscilație proprie este 2×10−15 inseamna că numărul de oscilații necesare pentru a pierde această energie este de ca. 109! Pentru ca energia pierdută într-un număr mic de oscilații să fie comparabilă cu energia lui, trebuie ca 1/γ = const×T, ceea ce implică ω0 = 1024 1/s sau, ca mai sus λ = 10−13 cm (domeniul razelor gamma). O consecință a amortizării scăzute este că efectul condițiilor inițiale durează mult (pe scara de timp a perioadelor de oscilație).
Descrierea radiației
Problema pe care o avem acum este următoarea: ne imaginăm o colecție de N (mare) oscilatori, care emit și absorb radiație și sunt plasați într-o incintă complet reflectătoare, astfel încât să nu se piardă energie; există posibilitatea unor stări staționare, în care energia emisă pe unitatea de timp să fie egală cu cea absorbită? Astfel pusă, problema este prea complicată. Planck cu o argumentație înrudită cu aceea a teoremei H a lui Boltzmann răspunde afirmativ, sub presupunerea că, în apropierea stării de echilibru, radiația este suficient de „incoerentă”. Descriem acum în detaliu această ipoteză suplimentară (a „luminii naturale”)
Câmpul electric
Oscilatorul (rezonatorul) este presupus de dimensiuni mici față de lungimile de undă relevante ale radiației.Dimensiunile atomare sunt de ordinul 1 Ångstrom = 10-8 cm; lungimile de undă de 1Å se găsesc în domeniul razelor X, iar interesul nostru (sau al lui Planck la 1900) este în domeniul vizibil sau infraroșu Are sens să vorbim atunci despre variația în timp a câmpului electric la „poziția” oscilatorului. Pentru început câmpul electric este presupus polarizat paralel cu axa oscilatorului; variația sa în timp poate fi reprezentată printr-o integrală Fourier, pe care o scriem, după cum e convenabil:Este comod de a folosi forma complexă a integralei Fourier:unde,