Кардина́льный си́нус, (от ) — математическая функция. Обозначается . Имеет два определения — для нормированной и ненормированной функции соответственно:
В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция обычно определяется как
В математике ненормированная функция определяется как
Нормировка функции выполняется из условия:
откуда
для ненормированной функции ():
В обоих случаях значение функции в особой точке явным образом задаётся равным единице (см. Замечательные пределы). Таким образом, функция аналитична для любого значения аргумента.
Свойства Нормированная функция обладает следующими свойствами:
и для всех и (целые числа); то есть это интерполянт.
функции формируют ортонормированный базис для функций в функциональном пространстве , с наибольшей круговой частотой .
Локальные максимум и минимум ненормированной функции находятся в точках, где значения функции совпадают со значениями косинусоиды (точках пересечения графиков и ) - условие равенства нулю производной (локальный экстремум в точке ) выполняется при условии .
Ненормированная функция обращается в ноль при значениях аргумента, кратных , а нормированная функция — при целых значениях аргумента.
Интегральный синус определяется через интеграл от функции .
Непрерывное преобразование Фурье нормированной функции (для единичного интервала частот) равно прямоугольной функции . , где прямоугольная функция — функция, принимающая значение1 для любого аргумента из интервала между −½и½, и равная нулю при любом другом значении аргумента.
Разложение в бесконечное произведение:
Выражение через гамма-функцию:
где — гамма-функция.
Использование и приложения Как преобразование Фурье прямоугольной функции sinc-функция возникает в задаче распространения волн из ближнего поля в дальнее поле (дифракция Фраунгофера, дифракция на щели). sinc-функция встречается в теории антенн, радаров, в акустике и т. д. Э. Т. Уиттекер показал, что sinc-функция играет центральную роль в теории интерполяции на сетке эквидистантных точек. В теории связи sinc-функция часто позволяет восстановить аналоговый сигнал по его отсчётам однозначно и без потерь (теорема Котельникова). Та же идея лежит в основе фильтра Ланцоша, применяемого, в частности, для передискретизации сигналов. Часто стремятся снизить влияние вторичных максимумов модуля, которые приводят к нежелательным боковым лепесткам диаграммы направленности. Часто используется квадрат sinc-функции, дающий интенсивность или мощность сигнала, амплитуда которого описывается sinc-функцией. Так как значения быстро уменьшаются с ростом аргумента, квадрат sinc-функции часто представляют в логарифмическом масштабе.
Обработка сигналов sinc-фильтр — идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя все частоты ниже этой частоты неизменными. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию.
См. также Сглаживание sinc-фильтр Атомарная функция Интегральный синус
Категория:Обработка сигналов Категория:Элементарные функции