Необходимое условие и достаточное условие — виды условий, логически связанных с некоторым суждением. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.
Необходимое условие Если импликация является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания является необходимым условием для истинности высказывания .
Необходимыми условиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не может быть истинным.
Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.
Достаточное условие Если импликация является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания является достаточным условием для истинности высказывания .
Достаточными называются такие условия, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение B является истинным.
Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком принадлежности классу M.
Необходимое и достаточное условие Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны, и обозначают или .
Это следует из тождественно истинной формулы, связывающей импликацию и операцию эквиваленции:
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.
Вышеперечисленные утверждения о необходимом и достаточном условиях можно наглядно продемонстрировать пользуясь таблицей истинности логических выражений.
Рассмотрим случаи, когда импликация истинна. Действительно, если суждение является необходимым условием для суждения , то обязано быть истинно для истинности импликации, в то же время, суждение является достаточным условием суждения значит, что если истинно , то обязано быть истинным.
Аналогичные рассуждения работают и обратном случае, когда суждение является необходимым условием для суждения и суждение является достаточным условием суждения .
Если является необходимым и достаточным условием , как видно из таблицы истинности, оба суждения обязаны быть истинны или оба суждения обязаны быть ложными.
Таблица истинности 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1
Пример Суждение X: «Вася получает стипендию в данном ВУЗе». Необходимое условие P: «Вася — учащийся данного ВУЗа». Достаточное условие Q: «Вася учится в данном ВУЗе без троек». Следствие R: «Получать стипендию в данном ВУЗе».
Данную формулу можно изобразить в виде условного силлогизма несколькими способами:
1) формулой: (Q → R) ˄ (R → P) → (Q → P) ;
2) официально принятым форматом:
Если Вася учится без троек в данном ВУЗе, то он получает стипендию. Если Вася получает стипендию, то он — учащийся данного ВУЗа. — — — — — — — — — Если Вася учится без троек в данном ВУЗе, то он — учащийся данного ВУЗа.
3) используя обычные речевые рассуждения:
Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии.
Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.
Общее правило выглядит следующим образом: В импликации A → B: A — это достаточное условие для B, и B — это необходимое условие для A.
См. также Импликация Тогда и только тогда
Примечания
Литература
Ссылки Видео о необходимом и достаточном условиях «Необходимость и достаточность » в учебнике MathIt
Категория:Математическая логика Категория:Математические термины