Деление на ноль в математике — деление, при котором делитель равен нулю. Такое деление может быть формально записано как , где — делимое.
В арифметике В арифметике с вещественными числами данное выражение не имеет смысла, так как:
при не существует числа, которое при умножении на даёт , поэтому ни одно число не может быть принято за частное ; при деление на ноль также не определено, поскольку любое число при умножении на даёт и может быть принято за частное .
Исторически одна из первых ссылок на математическую невозможность присвоения значения содержится в критике Джорджа Беркли исчисления бесконечно малых.
В алгебре Деление на ноль недопустимо во многих алгебраических структурах (например, в полях, кольцах). Однако понятие кольца можно расширить так, чтобы деление на ноль было возможным. Получившаяся структура называется колесо.
Делимость
Согласно определению делимости целых чисел, если для некоторого целого числа и целого числа существует такое целое число , что , то говорят, что число делится нацело на (обозначается ) или что делит (обозначается ).
В соответствии с этим определением выполняются следующие свойства:
Любое целое число является делителем нуля: , и частное (при ) равно нулю.
На ноль делится только ноль: , причём частное в этом случае однозначно не определено.
Логические ошибки Из-за того, что любое число, умноженное на ноль, даёт ноль, равенство x × 0 = y × 0 всегда верно при любых x и y. Однако если сократить обе части этого равенства на ноль, получится x = y, что неверно для произвольных x, y. Поскольку ноль может быть задан не явно, но в виде достаточно сложного математического выражения, к примеру в форме разности двух значений, сводимых друг к другу путём алгебраических преобразований, такое деление может быть достаточно неочевидной ошибкой. Незаметное внесение такого деления в процесс доказательства с целью показать идентичность заведомо разных величин, тем самым доказывая любое абсурдное утверждение, является одной из разновидностей математического софизма.
В информатике В программировании, в зависимости от языка программирования, типа данных и значения делимого, попытка деления на ноль может приводить к различным последствиям. Принципиально различны последствия деления на ноль в целой и вещественной арифметике: Попытка целочисленного деления на ноль всегда является критической ошибкой, делающей невозможным дальнейшее исполнение программы. Она приводит либо к генерации исключения (которое программа может обработать сама, избежав тем самым аварийной остановки), либо к немедленной остановке программы с выдачей сообщения о неисправимой ошибке и, возможно, содержимого стека вызовов. В некоторых языках программирования, например, в Go, целочисленное деление на нулевую константу считается синтаксической ошибкой и приводит к аварийному прекращению компиляции программы. В вещественной арифметике последствия могут быть различным в разных языках: генерация исключения или остановка программы, как и при целочисленном делении; получение в результате операции специального нечислового значения. Вычисления при этом не прерываются, а их результат впоследствии может быть интерпретирован самой программой или пользователем как осмысленное значение или как свидетельство некорректности вычислений. Широко используется принцип, согласно которому при делении вида , где — число с плавающей запятой, результат оказывается равен положительной или отрицательной (в зависимости от знака делимого) бесконечности — +INF или −INF, а при в результате получается специальное значение NaN (сокр. от — «не число»). Такой подход принят в стандарте IEEE754, который поддерживается многими современными языками программирования.
Случайное деление на ноль в компьютерной программе порой становится причиной дорогих или опасных сбоев в работе управляемого программой оборудования. К примеру, 21 сентября 1997 года в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всего электронного оборудования в системе, в результате чего силовая установка корабля прекратила свою работу Sunk by WindowsNT // Wired News. 1998-07-24..
См. также Деление (математика) Делитель нуля Асимптота
Примечания
Ссылки Division by Zero. Wolfram MathWorld.
Категория:Деление Категория:Компьютерная арифметика Категория:Математический анализ Категория:Арифметика Категория:Элементарная алгебра Категория:Ноль Категория:Бесконечность