''Другое значение этого термина: группа, совпадающая со своим коммутантом Совершенная группа ― группа , такая что отображение является изоморфизмом. Это отображение посылает элемент в автоморфизм сопряжения . Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра, а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним.
Примерами являются симметрические группы при (теорема Гёльдера); при этом группа имеет нетривиальный центр, а у группы существует .
Автоморфизмы простой группы образуют почти простую группу, а автоморфизмы неабелевой простой группы — совершенную группу.
Не любая группа, изоморфная своей группе автоморфизмов, является совершенной — необходимо, чтобы изоморфизм осуществлялся отображением сопряжения. Примером группы, для которой , но которая не является совершенной, является группа диэдра Robinson, section 13.5.
Примечания
Литература
(chapter 7, in particular theorems 7.15 and 7.17).
Ссылки : How tall is the automorphism tower of a group?
Категория:Свойства групп