-пространство (компактно порождённое пространство) — топологическое пространство, в котором замкнуты все множества, пересечение которых с каждым компактным подмножеством этого пространства замкнуто. Часто к этому добавляют требование хаусдорфовости пространства.

Определение Топологическое пространство называют -пространством, если его топология согласована с семейством всех его компактных подпространств, то есть если в нём для каждого подмножества выполнено одно из следующих эквивалентных условий: Множество замкнуто в тогда и только тогда, когда всякое его пересечение с каждым компактным множеством замкнуто в этом множестве . Множество открыто в тогда и только тогда, когда всякое его пересечение с каждым компактным множеством открыто в этом множестве .

Часто под -пространством понимают только хаусдорфовы пространства, удовлетворяющие вышеуказанному определению.

Для хаусдорфовых пространств можно дать следующее эквивалентное определение -пространства: хаусдорфово пространство является -пространством, в том и только в том случае, если оно есть образ некоторого локально компактного хаусдорфова пространства при факторном отображении (то есть оно гомеоморфно некоторому факторпространству локально компактного хаусдорфова пространства).

Отображения в -пространствах Отображение -пространства в произвольное топологическое пространство непрерывно в том и только в том случае, если всякое сужение этого отображения на компактное множество непрерывно.

Непрерывное отображение произвольного топологического пространство в -пространство замкнуто (открыто, факторно) в том и только в том случае, если для каждого компактного подмножества из области значений сужение этого отображения замкнуто (соответственно открыто, факторно).

Если даны два факторных отображения и , у которых области определения и и произведение областей значений являются -пространствами, то декартово произведение этих отображений является факторным отображением.

Сохранение при операциях Каждое открытое, а также каждое замкнутое подпространство хаусдорфова -пространства является -пространством. Однако произвольное подпространство хаусдорфова -пространства может не быть -пространством.

Сумма семейства топологических пространств является -пространством тогда и только тогда, когда все пространства из этого семейства являются -пространствами.

Произведение хаусдорфова -пространства и локально компактного хаусдорфова пространства является -пространством. При этом произведение двух -пространств в общем случае не является -пространством.

Хаусдорфов образ хаусдорфова -пространства при факторном (в частности, при открытом или замкнутом) отображении является -пространством. При этом образ хаусдорфова -пространства при произвольном непрерывном отображении может не быть -пространством, даже если он совершенно нормален.

Связь с другими классами пространств Всякое полное по Чеху пространство (в частности любое локально компактное хаусдорфово пространство, а следовательно и любое топологическое многообразие) является -пространством.

Каждое секвенциальное пространство (в частности любое пространство с первой аксиомой счётности, а следовательно и любое метрическое пространство) является -пространством.

Всякое пространство точечно счётного типа является -пространством.

Каждый CW-комплекс является -пространством.

Литература

Категория:Общая топология