Градие́нт (от — «шагающий, растущий») — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя скалярное поле). Этот вектор ортогонален изоповерхности const.
Градиент поля обозначается: . По величине (модулю) градиент равен скорости роста величины в направлении вектора. Например, если взять в качестве высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», а своей величиной характеризовать крутизну склона.
Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности.
Термин впервые появился в метеорологии для исследования изменений температуры и давления атмосферы, а в математику был введён Максвеллом в 1873 году; обозначение тоже предложил Максвелл. Наряду со стандартным обозначением часто используется компактная запись с использованием оператора набла:
Иллюстрация применения
Пусть температура в комнате задана с помощью скалярного поля , не изменяющегося с течением времени, таким образом, что в каждой точке с координатами , , температура равняется . В каждой точке комнаты градиент функции будет показывать направление, перпендикулярное изотермической поверхности, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в данном направлении.
Определение и вычисление Для случая трёхмерного пространства градиентом дифференцируемой в некоторой области скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами
Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :
Если — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор
компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.
Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь. Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».
Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения даёт полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения при смещении на . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:
Поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку — это вектор, градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:
или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,
(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.
Используя интегральную теорему
, градиент можно выразить в интегральной форме:
здесь — замкнутая поверхность охватывающая объём — нормальный элемент этой поверхности.
Пример Например, градиент функции будет представлять собой:
Некоторые применения
Геометрический смысл Рассмотрим семейство линий уровня функции :
Нетрудно показать, что градиент функции в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъёма в данной точке.
В физике В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.
Например, напряжённость электростатического поля есть антиградиент электростатического потенциала:
напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала:
.
Консервативная сила в классической механике есть антиградиент потенциальной энергии:
.
Диффузионный поток, согласно первому закону Фика, пропорционален градиенту концентрации вещества:
,
где — коэффициент диффузии.
Направление вектора , , , перпендикулярно поверхности постоянной величины const, const, const и const, соответственно.
В других естественных науках Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далёких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).
Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.
Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.
В экономике В экономической теории понятие градиента используется для обоснования некоторых выводов и для оптимизации. В частности, используемые для нахождения оптимума потребителя метод множителей Лагранжа и условия Куна — Таккера (позаимствованные из естественных наук) основаны на сопоставлении градиентов функции полезности и функции бюджетного ограничения.
Связь с производной по направлению Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции по направлению равняется скалярному произведению градиента на единичный вектор :
Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.
Градиент в ортогональных криволинейных координатах
где — коэффициенты Ламе.
Полярные координаты (на плоскости) Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
Цилиндрические координаты Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
Сферические координаты Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
Вариации и обобщения Пусть — отображение между метрическими пространствами. Борелева функция называется верхним градиентом если следующее неравенство
выполняется для произвольной спрямляемой кривой , соединяющей и в .6.2 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
См. также
4-градиент Векторный анализ Градиент концентрации Градиентные методы Оператор Кэнни Теорема Остроградского — Гаусса Формулы векторного анализа
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Векторы Категория:Векторный анализ Категория:Дифференциальные операторы Категория:Математическая физика