Математи́ческий ана́лиз (классический математический анализ) — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.
На классическом математическом анализе основывается современный анализ, который рассматривается как одно из трёх основных направлений математики (наряду с алгеброй и геометрией). При этом термин «математический анализ» в классическом понимании используется, в основном, в учебных программах и материалах. В англо-американской традиции классическому математическому анализу соответствуют программы курсов с наименованием «исчисление» ().
История
Предыстория Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы.
К 1000 году исламские математики разработали метод интегрирования многочленов, однако не проявили интереса к интегралам степеней выше четвёртой. К 1600 году индийские учёные использовали формулу суммы степенных рядов, известную со времен Ибн аль-Хайсама, и владели методами вычисления дифференциалов. Хотя фундаментальные идеи математического анализа были известны в Египте и Индии задолго до европейцев, ни одна из математических традиций не сформировала их в целостную теорию.
В Европе алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытияНьютон И. Математические работы. M, 1937.. Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май 1684 года, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…»Leibniz //Acta Eruditorum, 1684. L.M.S., т. V, c. 220—226. Рус. пер.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23), с. 166—173.. Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.
Лейбниц и его ученики
В конце XVII века вокруг Лейбница возникает кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли (Якоб и Иоганн) и Лопиталь. В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебникЛопиталь. Анализ бесконечно малых. М.-Л.:ГТТИ, 1935. (Далее: Лопиталь) // Мат. анализ на EqWorld , излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его Анализ бесконечно малых, дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой. У Лопиталя эта связь даётся при помощи плоских кривых: если — подвижная точка плоской кривой, то её декартовы координаты и , именуемые абсциссой и ординатой кривой, суть переменные, причём изменение влечёт изменение . Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что «известна природа кривой». Понятие дифференциала вводится так: Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется её дифференциалом… Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом Лопиталь, гл. 1, опр. 2.. … Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется … вторым дифференциаломЛопиталь, гл. 4, опр. 1.. Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое: Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другойЛопиталь, гл. 1, требование 1.. Отсюда получается , далее <p align=center>
и проч. правила дифференцирования.
Второе требование гласит: Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линийЛопиталь, гл. 1, требование 2.. Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривойЛопиталь, гл. 2, опр.. Исследуя касательную, проходящую через точку , Лопиталь придаёт большое значение величине , достигающей экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же к не придаётся никакого особого значения.
Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении абсциссы ордината сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал сначала положителен по сравнению с , а потом отрицателен. Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечностиЛопиталь, § 46.. Вероятно, эта формулировка небезупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, , тогда в силу первого требования ; в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума Лопиталь беспокоится о другом: для него длина отрезка и нужно пояснить, что значит её отрицательность. Замечание, сделанное в § 8-10, можно даже понять так, что при убывании с ростом следует писать , однако далее это не используется.. В примерах всё само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что равен нулю в точке максимума, будучи разделён на .
Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при . Тогда точка кривой с имеет ординату , равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при .
По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интегралаBernoulli, Johann. Die erste Integralrechnung. Leipzig-Berlin, 1914.. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.
Указывая на практическую полезность и простоту нового метода Лейбниц писал:
То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.
Эйлер
Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера. Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у ЛейбницаСм.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23), однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция — это выражение для счёта () или аналитическое выражениеСм. Маркушевич А. И. Элементы теории аналитических функций, Учпедгиз, 1944. С. 21 и сл.; Koenig F. Kommentierender Anhang zu Funktionentheorie von F. Klein. Leipzig: Teubner, 1987; а также Исторический очерк в статье Функция. Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количествЭйлер. Введение в анализ. Т. 1. Гл. 1, § 4. Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением»Эйлер. Введение в анализ. Т. 1. Гл. 1, § 6. Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.
Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа Эйлер обозначает это число как , что не может не путать современного читателя.. В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Например, считается допустимым такое выражение для экспоненты , в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.
В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученных их класса — показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций — взятия логарифма и экспонентыВведении в анализ, т. 1, гл. 8.
Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:
а отсюда
Полагая и , он получает , отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу .
Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне)Некоторые исследователи (см., напр., История Математики, т. 2) хотят видеть в сказанном во втором томе Введения в анализ ростки новой трактовки понятия функции, но в тексте говорится лишь о том, что кривые, а вовсе не функции, могут не быть представимы в виде единого выражения для счёта, то есть одной функции.. В XIX веке с подачи КазоратиCasorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. Pavia, 1868. P. 191 это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближённо описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа .
Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулы Ньютона — формула Тейлора. Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближённому вычислению при помощи рядов.
В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер вводит понятие интеграла так: Та функция, дифференциал которой , называется его интегралом и обозначается знаком , поставленным спередиЭйлер. Интегральное исчисление. Т. 1, опр. 2.