Функции Штумпфа ck(x) были введены в небесную механику немецким астрономом в его теории универсального решения для кеплеровского движения. Они описываются следующим разложением в ряд Тейлора:
для Этот ряд абсолютно сходится для любых действительных x.
Близки тригонометрическим функциям. Сравнивая разложение в ряд Тейлора для c0(x) и c1(x) с разложением в ряд Тейлора для тригонометрических функций sin и cos, можно найти следующие соотношения:
Аналогично, для гиперболических функций sinh и cosh мы находим:
Для неотрицательных k, .
Функции Штумпфа удовлетворяют следующему рекурсивному выражению:
Функции Штумпфа позволяют единообразно описать движение тела в центральном поле для любого значения «кеплеровской энергии» (суммы кинетической и потенциальной энергии), соответствующего движению по эллиптическим (кеплеровская энергия отрицательна), параболическим (кеплеровская энергия в точности равна нулю) и гиперболическим (кеплеровская энергия положительна) траекториям.
Ссылки
*