Зако́н Сте́фана — Бо́льцмана (закон Стефана, закон излучения Стефана — Больцмана) — интегральный закон излучения абсолютно чёрного тела. Он определяет зависимость плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела от его температуры. В словесной форме его можно сформулировать следующим образом: Полная объёмная плотность равновесного излучения и полная испускательная способность абсолютно чёрного тела пропорциональны четвёртой степени его температуры. Для полной испускательной способности (энергетической светимости) закон имеет вид:

где  — температура абсолютно чёрного тела,  — постоянная Стефана — Больцмана, которая может быть выражена через фундаментальные константы путём интегрирования по всем частотам формулы Планка:

где  — постоянная Планка,  — постоянная Больцмана,  — скорость света. Численно постоянная Стефана — Больцмана равна Вт / (м2 · К4).

Закон был эмпирически открыт Йозефом Стефаном в 1879 году, а через пять лет — выведен теоретически Людвигом Больцманом в рамках термодинамики. Больцман исходил из кинетической теории газов и цикла идеальной обратимой тепловой машины с излучением в качестве рабочего тела вместо газа. Он предполагал, что это излучение оказывает давление на стенки сосуда. Это единственный важный физический закон, названный в честь словенского физика.

Закон говорит только об общей излучаемой энергии. Распределение энергии по спектру излучения описывается формулой Планка, в соответствии с которой в спектре имеется единственный максимум, положение которого определяется законом Вина. Используя современную формулировку, его можно вывести из закона Планка:

Применение закона к расчёту эффективной температуры поверхности Земли даёт оценочное значение в 249 К, или −24 °C.

Общая форма

Если замкнутую систему нагретых излучающих тел поместить в полость с идеальными отражающими стенками, то со временем установится термодинамическое равновесие между излучением и всеми телами. Температуры всех тел станут одинаковыми. Равновесие достигается не только на поверхности тел, но и внутри них. Возбуждённые атомы испускают излучение, которое поглощается другими атомами среды, возбуждая их, тем самым попадая со временем на поверхность тела, с которой излучается в окружающее пространство. Тепловое излучение — это равновесная форма излучения, которое однородно, изотропно, неполяризовано, обладает непрерывным спектром. Энергию , приходящуюся на единичный диапазон частот, называют спектральной испускательной способностью тела или спектральной плотностью энергетической светимости. Она зависит от частоты и температуры. При интегрировании этой величины по всему спектру получают суммарный поток энергии излучения единицы поверхности, который называют интегральной испускательной способностью или энергетической светимостью:

Эта величина имеет размерность [Вт/м²] в единицах СИ. Обычные тела частично поглощают свет, падающий на них. Спектральная поглощательная способность тела характеризуется как отношение поглощённого потока падающего излучения из узкого интервала частот к падающему потоку ():

Эта безразмерная величина не может быть больше единицы по определению. Если поглощение одинаково для всех частот, то такое тело называют серым. Для реальных тел поглощение зависит от частоты. В специальном случае полного поглощения падающего излучения во всём спектре говорят об абсолютно чёрном теле. Его излучение имеет универсальный характер, его энергетическая светимость пропорциональна четвёртой степени температуры:

где ε — интегральная поглощательная способность тела. Для абсолютно чёрного тела ε = 1 выражение имеет специальное название — закон Стефана — Больцмана. Для многих температур металлы имеют ε = 0,1…0,4, окислы металлов — ε = 0,5…0,9.

Для серых тел закон можно записать в виде:

Однако если коэффициент отражения зависит от длины волны , то применяется закон излучения Кирхгофа:

или

В технической литературе общий закон Стефана — Больцмана обычно записывается в виде:

в основном для того, чтобы было проще вычислить где он находится излучение в направлении, перпендикулярном поверхности. Излучение в полупространстве для гладких металлических, гладких и шероховатых тел составляет:

Цвет поверхности не влияет на яркость. Белые поверхности сильно излучают. Гладкие материалы, такие как алюминий и бронза, имеют низкое сияние. Стекло пропускает коротковолновый свет, но не пропускает длинноволновое тепловое излучение.

В отличие от твёрдых тел, излучающих и поглощающих с поверхности, у газов степень поглощения зависит от толщины газового слоя и проходит по всему объёму (закон поглощения):

где  — длина пути излучения через газ и  — коэффициент поглощения. Одноатомные и большинство двухатомных газов в технических расчётах можно рассматривать как диатермические вещества, то есть хорошо пропускающие тепло. Технически важно выделять углекислый газ и водяной пар, которые излучают и поглощают в более широких диапазонах спектра. Свыше 600 °C теплопроводность этих газов может быть высокой, при ещё более высоких температурах она может превысить конвекционный перенос.

Открытие

20 марта Стефан опубликовал закон в статье «О связи между тепловым излучением и температурой» () в «Докладах заседания Венской академии наук». Статья показывает его путь к открытию закона. Резюме рукописи содержало четыре страницы формата А4, вся статья — 61 страницу, а печатная версия — 38 страниц.

Ньютон обнаружил, что интенсивность лучистого потока от горячего тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Пьер Дюлонг и Алексис Пти показали, что зависимость от температуры не является линейной и важны более высокие степени. Они рассматривали теплообмен между нагретой сферической колбой и окружающими стенками сферического сосуда при комнатной температуре. Они считали, что данная установка, заполненная различными газами при различных давлениях, будет хорошей моделью для исследования лучистого переноса тепла. Формула для лучистой мощности, к которой они пришли, имела вид:

где μ — зависящая от размера тела и материала константа, = 1,0077 — не зависящая от материала константа,  — температура. Стефан понял, что пренебрегать теплопереносом в системе не следует, и использовал их данные для поиска новой зависимости вида:

где  — постоянная зависящая от площади поверхности тела и температура дана в Кельвинах.

В 1847 году Дрейпер попытался определить, при какой температуре начинает излучать нагретое тело. Он этого не наблюдал, но обнаружил, что плотность потока излучаемой энергии возрастает не прямо пропорционально температуре, а гораздо быстрее. В 1878 году Стефан прочитал работу Дрейпера о лучистой энергии. В 1848 году Кельвин ввёл абсолютную шкалу температур. Стефан также использовал абсолютную температуру в своём эксперименте. Густав Кирхгоф ввёл закон теплового излучения в 1859 году и доказал его в 1861 году:

В 1862 году он ввёл термин «излучение чёрного тела». Он сравнил излучение чёрного и других излучающих тел. Он также предположил способ реализации такого излучения. Излучение чёрного тела зависит только от температуры источника излучения, но Кирхгофу не удалось определить функциональную зависимость.

Джон Тиндаль исследовал «невидимый» инфракрасный свет в 1864 году. Инфракрасные волны были открыты Уильямом Гершелем в 1800 году. Он использовал призму и с её помощью преломлял солнечный свет и использовал термометр для измерения повышения температуры за красной частью светового спектра. Он назвал эту часть спектра тепловыми лучами. Термин «инфракрасный свет» появился в конце XIX века. Томас Зеебек открыл явление термоэлектричества в 1821 году. Вскоре после этого, в 1835 году, Мачедонио Меллони изготовил первую термоэлектрическую батарею и открыл тепловое излучение. Было обнаружено, что новое излучение представляет собой свет, невидимый человеческому глазу, или электромагнитные волны с немного большей длиной волны, чем видимый красный свет.

В 1840 году Джон Гершель сделал первое инфракрасное изображение. Тиндаль нагрел электрическим током лампочку, в которой заменил обычную угольную нить на платиновую проволоку. Провод светился. По мере увеличения электрического тока температура провода увеличивалась и излучала всё больше и больше света. Он уловил свет линзой и призмой из каменной соли разделил излучаемый проволокой свет на радужный спектр. На место красной части поместил батарею последовательно соединенных термопар. Он присоединил контакты, где ток перетекал из одного металла в другой, с внешней стороны счётчика, и зачернил их. Соединения, где ток был в обратном направлении, он спрятал в корпус счётчика. Первые спаи поглощали падающий свет и нагревались, а вторые имели температуру окружающей среды. Он измерил силу тока чувствительным гальванометром. Тиндаль хотел получить только приблизительный результат, а температуру проволоки не измерял. Он только указал цвет излучаемого света. Для бледно-красных отклонение гальванометра составило 10,4°, а для белых 60°. В 1864 году он опубликовал трактат «О видимом и невидимом излучении», в котором попытался ответить, как излучение красного света зависит от температуры. Немецкий перевод был опубликован в 1865 году и был прочитан Адольфом Вюльнером. Во второе и третье издания своего учебника термодинамики «Наука о теплоте с точки зрения механической теории теплоты» включил данные Тиндаля. Он отрегулировал температуры. Хотя он полагался на измерения Дрейпера, он действовал произвольно. Книгу Вюльнера получил Стефан, который изменил температуру на абсолютную и учёл исправленное отклонение гальванометра для белого, для которого Тиндаль уже упоминал о необходимости брать удвоенное значение — 122°. Таким образом, бледно-красный цвет провода имел температуру 798 К (525 °С), белый 1473 К (1200 °С). При этом Стефан предполагал, что плотность излучаемого потока энергии пропорциональна отклонению гальванометра. Он попытался записать связь между абсолютной температурой провода T и плотностью излучаемого потока энергии j в виде степенной зависимости:

Из обеих пар данных он определил отношения потоков энергии 122/10,4 = 11,731. Он достаточно точно приблизился к значению, если возводил в степень отношение соответствующих абсолютных температур 1473/798 = 1,846 в четвёртой степени: , так что n = 4. Он проверил значения по данным Дюлонга и Пти, вычитая вклад теплопроводности. Новый закон хорошо согласовывался со старыми данными. Константа σ, полученная из его измерений, может быть записана в современных единицах измерения:

Его измерение было довольно точным и на 10,8 % меньше чем современное значения. Он также проверил закон по данным de la Provostaye и Desains (1846), Draper и Ericsson (1872) и Despretz.

В 1876 году независимо от Максвелла вывел уравнение для лучистого давления электромагнитных волн термодинамическим методом. Он обнаружил, что с помощью движущегося зеркала тепло может передаваться от более прохладного тела к более тёплому при совершении работы. Он представил себе обратимое бесконечно малый цикл Карно, при котором энтропия не меняется, а абсолютная проделанная работа связана с давлением света на зеркало. Чтобы второй закон термодинамики работал, свет должен передавать давление на зеркало. Поэтому лучистое давление также называли «давлением Максвелла — Бартоли».

В 1880 году Крова, Андре Проспер Поль опубликовал диаграмму трёхмерного представления графика интенсивности теплового излучения в зависимости от длины волны и температуры.