Гиперфункция (математика) — развитие понятия обобщённой функции. Гиперфункция одной переменной является разностью предельных значений на вещественной оси двух голоморфных функций, определённых, соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости. Гиперфункции многих переменных определены как элементы некоторой когомологической группы с коэффициентами в пучке голоморфных функций. Гиперфункции были открыты Микио Сато в 1958 году .

Гиперфункция одной переменной

Гиперфункция одной переменной может рассматриваться как разность на вещественной оси между одной голоморфной функцией , определённой на верхней комплексной полуплоскости, и другой , определённой на нижней комплексной полуплоскости - . Гиперфункция одной переменной определяется лишь разностью двух функций на вещественной оси и не изменяется при добавлении к и одной и той же голоморфной на всей комплексной плоскости функции , так что гиперфункции и определяются как эквивалентные.

Гиперфункция многих переменных

Пусть - предпучок в , определённый следующим образом: если не ограничено, то ; если ограничено, то ; Ограничения определены так: , если не ограничено, , если ограничено. Пучком гиперфункций на называется пучок , ассоциированный с передпучком .

Гиперфункция на определяется: покрытием , где открыты и ограничены; и элементами , для которых .

Два таких набора и определяют одну и ту же гиперфункцию, если

Примеры

Для всякой голоморфной на всей комплексной плоскости функции f гиперфункцией является её значения на вещественной оси, представимые в виде или . Функция Хевисайда может быть представлена как гиперфункция:

Дельта-функция Дирака может быть представлена как гиперфункция:

Операции над гиперфункциями

Умножение на аналитическую функцию. Пусть - аналитическая функция, - аналитический функционал. Тогда произведение определено формулой . Гиперфункцию определяет последовательность Свертка. Пусть - голоморфный функционал , - голоморфная функция с топологией. Тогда свёртка определяется формулой . Гиперфункцию определяет последовательность

См. также Обобщенная функция

Примечания

Литература

Категория:Комплексный анализ