Как и в других видах искусств, в архитектуре используются математика. Даже если отбросить необходимость этого для проектирования здания архитекторам не обойтись без знания геометрии при определении пространственной формы сооружения. Начиная со времён пифагореизма (VI в. до н. э.), для создания архитектурных форм было необходимо следовать правилам гармонии, то есть проектирование зданий и окружающего ландшафта происходило согласно математическим и эстетическим принципам, наряду с религиозными. Элементы, подобные математическим объектам, используют при облицовке зданий, например, замощении. Математические расчёты также необходимы для достижения экологических целей, например, минимизации скорости ветра около основания высотных зданий.

В Древнем Египте, Древней Греции, Индии и исламском мире строения, включая пирамиды, храмы, мечети, дворцы и мавзолеи, проектировались со специфичными пропорциями по религиозным причинам. В исламской архитектуре геометрические формы и использовали для облицовки зданий, как внутри, так и снаружи. Некоторые индуистские дворцы имеют подобные фракталам структуры, в которых часть подобна целому, олицетворяя бесконечность в индуистской космологии. В архитектуре Китая, тулоу (провинция Фуцзянь)— это круглые структуры коллективной защиты. В XXI веке математические орнаменты снова начали использоваться для облицовки общественных зданий.

В архитектуре эпохи Возрождения симметрия и пропорции играли важную роль и были подчёркнуты архитекторами того времени. Это можно увидеть в творениях Леона Баттиста Альберти, Себастьяно Серлио и Андреа Палладио, находившихся под влиянием трактата «Десять книг об архитектуре» Витрувия. В конце XIX века Владимир Шухов в России и Антонио Гауди в Испании положили начало использованию гиперболоидных конструкций. К примеру, при проектировании Храма Святого Семейства Гауди использовал гиперболические параболоиды, мозаики, , катеноиды, геликоиды и линейчатые поверхности. В XX веке в архитектурном модернизме и деконструктивизме широко использовались геометрические формы для получения запланированных визуальных эффектов. Понятие «минимальная поверхность» было использовано при проектировании купола Денверского Международного аэропорта в виде горных вершин или палаток. Ричард Бакминстер Фуллер положил начало применению усиленных тонкостенных оболочек, известных как геодезические купола.

Связанные области

Архитекторы Майкл Освальд и Ким Уильямс, анализируя связь между архитектурой и математикой, отметили, что по общему пониманию эти две области связаны слабо, поскольку архитектура относится к практическому строительству зданий, в то время как математика является чистой теорией, изучающей числа и другие абстрактные объекты. Но, как они утверждают, эти две области сильно связаны, и связаны они ещё с античности. В Древнем Риме Витрувий описывал архитектора как человека, знающего достаточно большой объём других дисциплин, главным образом геометрию, что позволяет ему контролировать квалифицированных ремесленников в других сферах деятельности, таких как каменщики и плотники. То же самое относится к средним векам, когда выпускники высших заведений учили арифметику, геометрию и эстетику наравне с базовыми курсами грамматики, логики и риторики (тривиум) в элегантных аудиториях, сделанных строителями, которые руководили многими рабочими. Строителям на вершине их профессии давался титул архитектора или инженера. В эпоху Возрождения, квадривиум арифметики, геометрии, музыки и астрономии стал дополнительной программой, которую должны были знать люди эпохи Возрождения, такие как Леон Баттиста Альберти. Аналогично, в Англии, сэр Кристофер Рен, сегодня известный как архитектор, был первоначально знаменитым астрономом.

Уильям и Оствальд, рассматривая позднее взаимодействие математики и архитектуры с 1500 года, согласно подходу немецкого социолога Теодора Адорно, определили три тенденции архитектуры, а именно — революционная, предлагающая полностью новые идеи, реакционная, противящаяся нововведениям, и , на самом деле идущие назад. Утверждали, что архитекторы избегали использования математики для получения вдохновения во времена возрождения традиций. Это может объяснить, почему во времена возрождения традиций, таких как неоготика в XIX веке в Англии, архитектура имела малую связь с математикой. Также они заметили, что в таких направлениях как итальянский маньеризм примерно с 1520 по 1580 год, или барокко и палладианство периода XVII века, математика мало принималась во внимание. Для контраста революционные движения ранних годов XX века, такие как футуризм и конструктивизм, активно отбрасывали старые идеи, использовали математику и вели к модернизму в архитектуре. К концу XX века фрактальная геометрия была быстро подхвачена архитекторами, как и непериодичные замощения, позволяющие осуществить интересные и привлекательные облицовки зданий .

Архитекторы используют математику по нескольким причинам, даже если оставить в стороне необходимость использования математики в . Во-первых, они используют геометрию, чтобы определять пространственные формы здания. Во-вторых, они используют математику для проектирования форм, считающихся прекрасными или гармоничными. Со времён пифагореизма с их религиозной философией чисел, архитекторы Древней Греции, Древнего Рима, исламского мира и итальянского Ренессанса выбрали пропорции строительного окружения — зданий и их окружения — согласно эстетическим и религиозным принципам. В-третьих, они могут использовать математические объекты, такие как замощения, для украшения зданий. В-четвёртых, они могут использовать математику в виде компьютерного моделирования для достижения экологических целей, таких как минимизация вихрей при огибании основания высоких зданий .

Гармония пространственных форм

Светская эстетика

Древний Рим

Витрувий

Влиятельный древнеримский архитектор Витрувий утверждал, что планирование здания, такого как храм, зависит от двух качеств: пропорций и симметрии. Пропорции отвечают за гармоничное отношение каждой части здания ко всем остальным. Симметрия в понимании Витрувия означает нечто более близкое к модульности, чем к зеркальной симметрии, так как это относится к сборке (модульных) частей в единое строение. В базилике в городе Фано использованы отношения малых целых чисел, в частности, треугольных чисел (1, 3, 6, 10, …) как пропорции структуры . Так, ширина базилики относится к длине как 1:2, нефы вокруг неё имеют такую же высоту, как и ширину, 1:1, толщина колонн составляет пять футов, а высота — пятьдесят футов, 1:10.

Витрувий назвал три свойства, требуемые от архитектуры, в трактате Десять книг об архитектуре (XV век до нашей эры) — прочность, практичность и приятный вид. Эти свойства можно использовать как категории для классификации способов использования математики в архитектуре. Прочность охватывает использование математики для обеспечения устойчивости зданий, поскольку математические средства используются для проектирования и поддержки конструкций, например, для обеспечения стабильности и качественного моделирования. Практичность достигается отчасти путём эффективного применения математики, обосновывая и анализируя пространственные и другие связи при проектировании. Приятный вид является атрибутом здания, являющимся воплощением математических связей в здании. Он включает эстетику, чувственные и интеллектуальные свойства.

Пантеон

Сохранившийся невредимым Пантеон в Риме иллюстрирует классическую структуру римских строений, пропорций и украшений. Основной структурой является купол, высшую точку которого оставляли открытой в качестве круглого окулюса, пропускающего свет. Пантеон с фасада снабжён колоннадой с треугольным фронтоном. Высота окулюса и диаметр внутреннего круга (43,3 метра) совпадают так, что внутренняя часть полностью помещается в куб. Эти размеры будут более понятны, если обратить внимание на список древнеримских единиц (купол имеет диаметр 150 римских футов). Окулюс равен 30 римским футам в диаметре, дверной проём имеет высоту 40 римских футов. Пантеон остаётся крупнейшим в мире бетонным сводом без арматуры.

Возрождение

Первым трактатом эпохи возрождения по архитектуре был трактат Леона Баттиста Альберти (1450) (Об искусстве строительства). Изданный в 1485 году, трактат стал первой печатной книгой по архитектуре. Он частично базировался на книге Витрувия Десять книг об архитектуре и пифагоровой арифметике. Альберти начинает с куба и выводит из него пропорции. Так, диагонали грани дают отношение 1:√2, а диаметр сферы, описанный вокруг куба, имеет отношение 1:√3. Альберто также описывает открытие Филиппо Брунеллески , разработанной для планирования зданий, которые выглядят вполне пропорционально, если рассматривать с удобного расстояния.

Следующим важным текстом была книга Себастьяна Серлио Regole generali d’architettura (Основные правила архитектуры). Первый том книги вышел в Венеции в 1537 году. Том 1545 года (книги 1 и 2) охватывают геометрию и . Два метода построения перспективы Серлио были ошибочными, но это не остановило широкое использование книги.

В 1570 году Андреа Палладио опубликовал авторитетные I quattro libri dell’architettura (Четыре книги об архитектуре) в Венеции. Эти книги получили широкое распространение и продвигали идеи итальянского возрождения в Европе при содействии сторонников идей, таких как английский дипломат Генри Уоттон, выпустивший в 1624 году трактат «Элементы архитектуры». Пропорции каждого помещения внутри особняка вычислялись с помощью простых математических отношений, таких как 3:4 и 4:5, и различные помещения внутри дома были связаны этими соотношениями. Ранние архитекторы использовали эти формулы для балансирования симметрии фасада. Однако проекты Палладио относились, как правило, к квадратным особнякам. Палладио допускал ряд отношений в Quattro libri, утверждая:

В 1615 году Винченцо Скамоцци опубликовал трактат L’Idea dell’Architettura Universale (Идея Универсальной Архитектуры). Он попытался соотнести планирование городов и зданий с идеями Витрувия, пифагорейцев и более свежих идей Палладио.

Девятнадцатый век

Гиперболоидные конструкции начали использоваться с конца XIX века Владимиром Шуховым для мачт, маяков и градирен. Несмотря на экономное использование материала при производстве, конструкции Шухова довольно прочны. Первая гиперболоидная башня Шухова была представлена на выставке в Нижнем Новгороде в 1896 году.

Двадцатый век

В движении начала XX века «архитектурный модернизм», у истоков которого лежал русский конструктивизм, использовалась евклидова геометрия. В движении общества художников Де Стейл горизонталь и вертикаль рассматриваются как составляющие вселенной. Архитектурные формы заключаются в помещении этих двух направлений вместе с использованием плоскости крыш, плоскостей стен и балконов, которые либо заходят одна за другую, либо пересекаются, как в доме Шрёдер, построенном в 1924 году Герритом Ритвельдом.

Архитекторы модернизма были свободны в использовании кривых наравне с плоскостями. Чарльза Холдена 1933 года имеет круглый кирпичный кассовый зал с плоским бетонным поломHistoric England Arnos Grove Underground Station Список национального достояния Англии. В 1938 году художник из высшей школы строительства и художественного конструирования Баухаус Ласло Мохой-Надь заимствовал семь биотехнических элементов : кристалл, сфера, конус, плоскость, (кубовидная) лента, (цилиндрический) стержень и спираль в качестве базовых строительных архитектурных блоков, навеянных природой.