В математике мечта второкурсника или мечта софомора ( — студент-второкурсник в США) — пара тождеств:
История Тождества открыты в 1697 году Иоганном Бернулли. Числовые значения этих констант составляют приблизительно 1.291285997 и 0.7834305107, соответственно.
Название «мечта второкурсника» появилось позже. Оно является отсылкой к «мечте первокурсника», что в свою очередь означает шуточное неверное тождество (x + y)n = xn + yn. Однако, в отличие от него, мечта второкурсника — пара верных тождеств.
Доказательство Доказательства этих тождеств полностью аналогичны, поэтому здесь представлено только одно из них.
Вначале, представим как:
.
Тогда
.
По свойству равномерной сходимости степенных рядов можно поменять местами суммирование и интеграл. Получим:
.
Чтобы получить представленные выше интегралы, заменим переменную . После этой замены границы интеграла преобразуются в , что даёт нам:
.
По интегральному тождеству Эйлера для Гамма-функции:
,
таким образом:
.
Просуммировав и изменив индексацию (она начинается с n=1, а не с n=0), получим искомое тождество.
Версии доказательств Исходное доказательство, данное БернуллиJohann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381 и представленное в современном виде, отличается от приведённого выше в части расчёта интеграла , но в остальном идентично за исключением технических деталей. Вместо интегрирования путем подстановки, используя Гамма-функцию (которая на момент доказательства ещё не была известна), Бернулли использовал интегрирование по частям.
Примечания
Категория:Тождества Категория:Математические константы Категория:Интегралы