Градуированная алгебра — алгебра над кольцом , разложенная в прямую сумму подпространств по всем элементам некоторой полугруппы таким способом, что выполняется условие для любых . В таком случае говорят, что на задана -градуировка; если полугруппа не указывается, то обычно в качестве неё подразумевают аддитивную группу целых чисел или аддитивную полугруппу неотрицательных целых .
Если ненулевой элемент принадлежит подпространству , то он называется однородным степени .
Градуированными алгебрами являются: кольца многочленов от одной или нескольких переменных, кольца когомологий, алгебра матриц порядка (градуируется группой ), .
Если — -градуированная алгебра, а — гомоморфизм полугрупп, тогда наделяется -градуировкой по правилу: .
На любой алгебре можно ввести тривиальную градуировку любым моноидом с единицей , полагая , обычно такие «бедные» градуировки не рассматриваются и особо оговаривается нетривиальность градуировки в том или ином построении.
Над полем комплексных чисел любая алгебра градуируется группой характеров максимального тора своей группы алгебраических автоморфизмов: для всякого , это «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры , поскольку на любой -градуированной алгебре группа характеров действует автоморфизмами по той же формуле.
Градуированные кольца и модули Определение -градуировки естественно обобщается на кольца: градуированное кольцо определяется как таким же образом разложимое в прямую сумму по элементам заданной полугруппы.
Градуированный левый модуль над кольцом c -градуировкой — такой модуль, что: и .
Морфизм градуированных модулей — морфизм, сохраняющий градуировку, то есть .
Для градуированного модуля можно определить -подкрутку как градуированный модуль, определённый правилом (скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии).
Если — морфизм градуированных модулей и , то говорят, что имеет степень , если . Внешняя производная дифференциальной формы в дифференциальной геометрии — пример морфизма степени 1.
Литература
Категория:Алгебры над кольцами Категория:Математическая логика