Точки Лагра́нжа, точки либра́ции ( — раскачивание) или L-точки — точки в пространстве динамической системы из двух массивных тел и третьего тела с пренебрежимо малой массой, в которых сумма гравитационных сил и центробежной силы, действующих на третье тело, равна нулю. Тело в этих точках может оставаться относительно неподвижным.
Более точно точки Лагранжа представляют собой частный случай при решении так называемой ограниченной задачи трёх тел — когда орбиты всех тел являются круговыми и масса одного из них намного меньше массы любого из двух других. В этом случае можно считать, что два массивных тела обращаются вокруг их общего центра масс с постоянной угловой скоростью. В пространстве вокруг них существуют пять точек, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта, связанной с массивными телами. В этих точках гравитационные силы, действующие на малое тело, уравновешиваются центробежной силой.
Точки Лагранжа получили своё название в честь математика Жозефа Луи Лагранжа, который первым в 1772 году привёл решение математической задачи, из которого следовало существование этих особых точек.
Расположение точек Лагранжа
Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел и обозначаются заглавной латинской буквой L с числовым индексом от1 до5. Первые три точки расположены на линии, проходящей через оба массивных тела. Эти точки Лагранжа называются коллинеарными и обозначаются L, L и L. Точки L и L называются треугольными или троянскими. Точки L, L, L являются точками неустойчивого равновесия, в точках L и L равновесие устойчивое.
L находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу; L — снаружи, за менее массивным телом; и L — за более массивным. В системе координат с началом отсчёта в центре масс системы и с осью, направленной от центра масс к менее массивному телу, координаты этих точек в первом приближении по рассчитываются с помощью следующих формул:
где , — расстояние между телами, — масса более массивного тела, — масса второго тела.
L Точка L лежит на прямой, соединяющей два тела с массами и ( > ), и находится между ними, вблизи второго тела. Её наличие обусловлено тем, что гравитация тела частично компенсирует гравитацию тела . При этом чем больше , тем дальше от него будет располагаться эта точка.
Пример: Объекты, которые движутся вокруг Солнца ближе, чем Земля, как правило, имеют меньшие орбитальные периоды, чем у Земли, если они не входят в зону влияния земного притяжения. Если объект находится непосредственно между Землёй и Солнцем, то действие земной силы тяжести отчасти компенсирует влияние гравитации Солнца, за счёт этого происходит увеличение орбитального периода объекта. Причём чем ближе к Земле находится объект, тем сильнее этот эффект. И наконец, на определённом приближении к планете — в точке L — действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации настолько, что период обращения объекта вокруг Солнца становится равным периоду обращения Земли. Для нашей планеты расстояние до точки L составляет около 1,5 млн км. Притяжение Солнца здесь () на 2 % сильнее, чем на орбите Земли (), тогда как снижение требуемой центростремительной силы вдвое меньше (). Сумма этих двух эффектов уравновешивается притяжением Земли, которое составляет здесь также .
Использование В системе Солнце — Земля точка L может быть идеальным местом для размещения космической обсерватории для наблюдения Солнца, которое в этом месте никогда не перекрывается ни Землёй, ни Луной. Первым аппаратом, работавшим вблизи этой точки, был запущенный 12 августа 1978 года аппарат . Аппарат вышел на периодическую гало-орбиту вокруг этой точки 20 ноября 1978 годаISEE-3/ICE profile by NASA Solar System Exploration и был сведён с этой орбиты 10 июня 1982 года (для исполнения новых задач). На такой же орбите с мая 1996 года работает аппарат SOHO. Аппараты ACE, WIND и DSCOVR находятся на квазипериодических орбитах Лиссажу́ близ этой же точки, соответственно, с 12 декабря 1997, 16 ноября 2001 и 8 июня 2015 года. В 2016—2017 годах также в окрестностях этой точки проводил эксперименты аппарат LISA Pathfinder.
Лунная точка L (в системе Земля — Луна; удалена от центра Земли примерно на 315 тыс. км) может стать идеальным местом для строительства космической пилотируемой орбитальной станции, которая, располагаясь на пути между Землёй и Луной, позволила бы легко добраться до Луны с минимальными затратами топлива и стать ключевым узлом грузового потока между Землёй и её спутником.
L
Точка L лежит на прямой, соединяющей два тела с массами и (), и находится за телом с меньшей массой. Точки L и L располагаются на одной линии и в пределе симметричны относительно . В точке L гравитационные силы, действующие на тело, компенсируют действие центробежных сил во вращающейся системе отсчёта.
Пример: у объектов, расположенных за орбитой Земли (от Солнца), орбитальный период почти всегда больше, чем у Земли. Но дополнительное влияние на объект силы тяжести Земли, помимо действия солнечной гравитации, приводит к увеличению скорости вращения и уменьшению времени оборота вокруг Солнца, в результате в точке L орбитальный период объекта становится равным орбитальному периоду Земли.
Если много меньше по массе, чем , то точки L и L находятся от тела на примерно одинаковом расстоянии , равном радиусу сферы Хилла:
где — расстояние между компонентами системы.
Это расстояние можно описать как радиус круговой орбиты вокруг , для которой период обращения в отсутствие в раза меньше, чем период обращения вокруг .
Использование Точка L системы Солнце — Земля ( от Земли) является идеальным местом для расположения орбитальных космических обсерваторий и телескопов. Поскольку объект в точке L способен длительное время сохранять свою ориентацию относительно Солнца и Земли, производить его экранирование и калибровку становится гораздо проще. Однако эта точка расположена немного дальше земной тени (в области полутени)Угловой размер Земли, видимый с расстояния , — ′, а Солнца с + — ′., так что солнечная радиация блокируется не полностью. На гало-орбитах вокруг этой точки на 2024 год располагались аппараты «Gaia» и «Спектр-РГ». Ранее там действовали такие телескопы, как «Планк» и «Гершель». С 2022 года это место расположения телескопа «Джеймс Уэбб» — крупнейшего космического телескопа в истории.
Точка L системы Земля — Луна ( от Луны) может использоваться для обеспечения спутниковой связи с объектами на обратной стороне Луны; впервые эту возможность реализовал в 2018 году китайский спутник «Цюэцяо», ретранслятор первой в истории миссии на обратной стороне Луны «Чанъэ-4».
L
Точка L лежит на прямой, соединяющей два тела с массами и (), и находится за телом с большей массой. Так же, как для точки L, в этой точке гравитационные силы компенсируют действие центробежных сил.
Пример: точка L в системе Солнце — Земля находится за Солнцем, на противоположной стороне земной орбиты. Однако, несмотря на свою малую (по сравнению с солнечной) гравитацию, Земля всё же оказывает там небольшое влияние, поэтому точка L находится не на самой орбите Земли, а чуть ближе к Солнцу (на , или около 0,0002 %), так как вращение происходит не вокруг Солнца, а вокруг барицентра. В результате в точке L достигается такое сочетание гравитации Солнца и Земли, что объекты, находящиеся в этой точке, движутся с таким же орбитальным периодом, как и наша планета.
До начала космической эры среди писателей-фантастов была очень популярна идея о существовании на противоположной стороне земной орбиты в точке L другой аналогичной ей планеты, называемой «Противоземлёй», которая из-за своего расположения была недоступна для прямых наблюдений. Однако на самом деле из-за гравитационного влияния других планет точка L в системе Солнце — Земля является крайне неустойчивой. Так, во время гелиоцентрических соединений Земли и Венеры по разные стороны Солнца, которые случаются каждые , Венера находится всего в от точки L и таким образом оказывает очень серьёзное влияние на её расположение относительно земной орбиты. Кроме того, из-за движения Солнца вокруг центра масс системы Солнце — Юпитер, при котором оно последовательно занимает положение по разные стороны от этой точки, и эллиптичности земной орбиты, так называемая «Противоземля» всё равно время от времени была бы доступна для наблюдений и обязательно была бы замечена. Ещё одним эффектом, выдающим её существование, была бы её собственная гравитация: влияние тела размером уже порядка и более на орбиты других планет было бы заметноCould There Be a Planet Hidden on the Opposite Side of our Sun? PopSci asks the scientist who has peered around it . С появлением возможности производить наблюдения с помощью космических аппаратов и зондов было достоверно показано, что в этой точке нет объектов размером более .
Орбитальные космические аппараты и спутники, расположенные вблизи точки L, могут постоянно следить за различными формами активности на поверхности Солнца — в частности, за появлением новых пятен или вспышек, — и оперативно передавать информацию на Землю (например, в рамках системы раннего предупреждения о космической погоде NOAA ). Кроме того, информация с таких спутников может быть использована для обеспечения безопасности дальних пилотируемых полётов, например к Марсу или астероидам. В 2010 году были изучены несколько вариантов запуска подобного спутника
L и L
Если на основе линии, соединяющей оба тела системы, построить два равносторонних треугольника, две вершины которых соответствуют центрам тел и , то точки L и L будут соответствовать положению третьих вершин этих треугольников, расположенных в плоскости орбиты второго тела в впереди и позади него.
Наличие этих точек и их высокая стабильность обусловливается тем, что, поскольку расстояния до двух тел в этих точках одинаковы, то силы притяжения со стороны двух массивных тел соотносятся в той же пропорции, что их массы, и таким образом результирующая сила направлена на центр масс системы; кроме того, геометрия треугольника сил подтверждает, что результирующее ускорение связано с расстоянием до центра масс той же пропорцией, что и для двух массивных тел. Так как центр масс является одновременно и центром вращения системы, результирующая сила точно соответствует той, которая нужна для удержания тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с остальной системой. (На самом деле, масса третьего тела и не должна быть пренебрежимо малой). Данная треугольная конфигурация была обнаружена Лагранжем во время работы над задачей трёх тел. Точки L и L называют треугольными (в отличие от коллинеарных).
Также точки называют троянскими: это название происходит от троянских астероидов Юпитера, которые являются самым ярким примером проявления этих точек. Они были названы в честь героев Троянской войны из «Илиады» Гомера, причём астероиды в точке L получают имена греков, а в точке L — защитников Трои; поэтому их теперь так и называют «греками» (или «ахейцами») и «троянцами».
Расстояния от центра масс системы до этих точек в прямоугольной координатной системе с центром координат в центре масс системы и осью Х, направленной от первого тела ко второму, рассчитываются по следующим формулам:
где , — расстояние между телами, — масса более массивного тела, — масса второго тела.
Так, в системе Солнце — Земля точки Лагранжа имеют следующие координаты (если пренебречь отклонением орбит от круговых). L1 = (1,48104 ⋅ 1011, 0) м; L2 = (1,51092 ⋅ 1011, 0) м; L3 = (−1,49598 ⋅ 1011, 0) м; L4 = (7,47985 ⋅ 1010, 1,29556 ⋅ 1011) м; L5 = (7,47985 ⋅ 1010, −1,29556 ⋅ 1011) м.
Примеры: В 2010 году в системе Солнце — Земля в троянской точке L обнаружен астероид , а в 2020 году — . В L пока не обнаружено троянских астероидов, но там наблюдается довольно большое скопление межпланетной пыли. По некоторым наблюдениям, в точках L и L системы Земля — Луна находятся очень разреженные скопления межпланетной пыли — облака Кордылевского.