RSA (аббревиатура от фамилий Rivest, Shamir и Adleman) — криптографический алгоритм с открытым ключом, основывающийся на вычислительной сложности задачи факторизации больших полупростых чисел.
Криптосистема RSA стала первой системой, пригодной и для шифрования и цифровой подписи. Алгоритм используется в большом числе криптографических приложений, включая PGP, S/MIME, TLS/SSL, IPsec/IKE и других.
История Алгоритм шифрования с открытым и закрытым ключом приписывается Уитфилду Диффи и Мартину Хеллману, которые опубликовали эту концепцию в 1976 году. Они также ввели цифровые подписи и попытались применить теорию чисел. В их формулировке использовался секретный ключ с общим доступом, созданный путём экспоненциализации некоторого числа, простого по модулю. Однако они оставили открытой проблему реализации односторонней функции, возможно потому, что сложность факторизации в то время не была хорошо изучена.
Рон Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман из Массачусетского технологического института в течение года предприняли несколько попыток создать одностороннюю функцию, которую было бы трудно инвертировать. Ривест и Шамир, будучи компьютерными учёными, предложили множество потенциальных функций, а Адлеман, будучи математиком, отвечал за поиск их слабых мест. Они опробовали множество подходов, включая "ранцевый" и "перестановочные полиномы". Какое-то время они думали, что то, чего они хотели достичь, невозможно из-за противоречивых требований. В апреле 1977 года они провели Песах в доме одного из студентов и выпили много манишевицкого вина, а затем вернулись к себе домой около полуночи. Ривест, не в силах заснуть, лёг на диван с учебником математики и начал думать о своей односторонней функции. Остаток ночи он провёл, формализуя свою идею, и к рассвету большая часть статьи была готова. Алгоритм теперь известен как RSA — инициалы их фамилий в том же порядке, что и в их статье.
Клиффорд Кокс, английский математик, работавший в британской разведывательной службе Government Communications Headquarters (GCHQ), описал эквивалентную систему во внутреннем документе в 1973 г. Однако, учитывая относительно дорогие компьютеры, необходимые для её реализации в то время, она считалась в основном курьёзом и, насколько известно, так и не была применена. Однако его открытие было раскрыто только в 1997 году из-за его сверхсильного засекречивания.
В августе 1977 года в колонке «Математические игры» Мартина Гарднера в журнале Scientific American с разрешения Рональда Ривеста появилось первое описание криптосистемы RSA. Читателям также было предложено дешифровать английскую фразу, зашифрованную описанным алгоритмом:
9686 1477 8829 7431 0816 3569 8962 1829 9613 1409 0575 9874 2982 3147 8013 9451 7546 2225 9991 6951 2514 6622 3919 5781 2206 4355 1245 2093 5708 8839 9055 5154
В качестве открытых параметров системы были использованы числа n= (129 десятичных знаков, 425 бит, также известно как RSA-129) и e=9007. За расшифровку была обещана награда в 100 долларов США. По заявлению Ривеста, для факторизации числа потребовалось бы более 40 квадриллионов лет. Однако чуть более, чем через 15 лет, 3 сентября 1993 года, было объявлено о запуске проекта распределённых вычислений с координацией через электронную почту по нахождению сомножителей числа RSA-129 и решению головоломки. На протяжении полугода более 600 добровольцев из 20 стран жертвовали процессорное время 1600 машин (три из которых были факс-машинами). В результате были найдены простые множители и расшифровано исходное сообщение, которое представляет собой фразу «» («Волшебные слова — это брезгливый ягнятник»). Полученную награду победители пожертвовали в фонд свободного программного обеспечения.
После публикации Мартина Гарднера полное описание новой криптосистемы любой желающий мог получить, выслав по почте запрос Рональду Ривесту с приложенным конвертом с обратным адресом и марками на 35 центов. Полное описание новой криптосистемы было опубликовано в журнале «Communications of the ACM» в феврале 1978 года.
Заявка на патент была подана 14 декабря 1977 года, в качестве владельца был указан MIT. Патент 4405829 был выдан 20 сентября 1983 года, а 21 сентября 2000 года срок его действия истёкRonald L. Rivest et al. . Однако за пределами США у изобретателей патента на алгоритм не было, так как в большинстве стран его необходимо было получить до первой публикации.
В 1982 году Ривест, Шамир и Адлеман организовали компанию (в настоящий момент — подразделение EMC). В 1989 году RSA, вместе с симметричным шифром DES, упоминается в RFC 1115, тем самым начиная использование алгоритма в зарождающейся сети Internet, а в 1990 году использовать алгоритм начинает министерство обороны США.
В ноябре 1993 года открыто публикуется версия 1.5 стандарта , описывающего применение RSA для шифрования и создания электронной подписи. Последние версии стандарта также доступны в виде RFC (RFC 2313 — 1.5, 1993 год; RFC 2437 — 2.0, 1998 год; RFC 3447 — 2.1, 2002 год).
В декабре 1997 года была обнародована информация о приоритете Клиффорда КоксаC. C. Cocks A note on «non-secret encryption» 20 ноября 1973.
Описание алгоритма
Введение Криптографические системы с открытым ключом используют так называемые односторонние функции, которые обладают следующим свойством:
если известно , то вычислить относительно просто; если известно , то для вычисления нет простого (эффективного) пути.
Под односторонностью понимается не математически доказанная однонаправленность, а практическая невозможность вычислить обратное значение, используя современные вычислительные средства, за обозримый интервал времени.
В основу криптографической системы с открытым ключом RSA положена сложность задачи факторизации произведения двух больших простых чисел. Для шифрования используется операция возведения в степень по модулю большого числа. Для дешифрования (обратной операции) за разумное время необходимо уметь вычислять функцию Эйлера от данного большого числа, для чего необходимо знать разложение числа на простые множители.
В криптографической системе с открытым ключом каждый участник располагает как открытым ключом (), так и закрытым ключом (). В криптографической системе RSA каждый ключ состоит из пары целых чисел. Каждый участник создаёт свой открытый и закрытый ключ самостоятельно. Закрытый ключ каждый из них держит в секрете, а открытые ключи можно сообщать кому угодно или даже публиковать их. Открытый и закрытый ключи каждого участника обмена сообщениями в криптосистеме RSA образуют «согласованную пару» в том смысле, что они являются взаимно обратными, то есть:
допустимых пар открытого и закрытого ключей соответствующие функции шифрования и расшифрования такие, что сообщения , где — множество допустимых сообщений,
Алгоритм создания открытого и секретного ключей RSA-ключи генерируются следующим образом:
1) выбираются два различных случайных простых числа и заданного размера (например, 1024 бита каждое); 2) вычисляется их произведение , которое называется модулем; 3) вычисляется значение функции Эйлера от числа : ; 4) выбирается целое число (), взаимно простое со значением функции ; число называется открытой экспонентой (); обычно в качестве берут простые числа, содержащие небольшое количество единичных бит в двоичной записи, например, простые из чисел Ферма: 17, 257 или 65537, так как в этом случае время, необходимое для шифрования с использованием быстрого возведения в степень, будет меньше; слишком малые значения , например 3, потенциально могут ослабить безопасность схемы RSA.; 5) вычисляется число , мультипликативно обратное к числу по модулю , то есть число, удовлетворяющее сравнению:
(число называется секретной экспонентой; обычно оно вычисляется при помощи расширенного алгоритма Евклида); 6) пара публикуется в качестве открытого ключа RSA (); 7) пара играет роль закрытого ключа RSA () и держится в секрете.
Шифрование и расшифрование Предположим, Боб хочет послать Алисе сообщение .
Сообщениями являются целые числа в интервале от до .
Алгоритм шифрования: Взять открытый ключ Алисы Взять открытый текст Зашифровать сообщение с использованием открытого ключа Алисы:
Алгоритм расшифрования: Принять зашифрованное сообщение Взять свой закрытый ключ Применить закрытый ключ для расшифрования сообщения:
Данная схема на практике не используется по причине того, что она не является практически надёжной (semantically secured). Действительно, односторонняя функция E(m) является детерминированной — при одних и тех же значениях входных параметров (ключа и сообщения) выдаёт одинаковый результат. Это значит, что не выполняется необходимое условие практической (семантической) надёжности шифра.
Алгоритм шифрования сеансового ключа Более надёжным является смешанный алгоритм шифрования, в котором сначала шифруется сеансовый ключ, а потом уже с его помощью участники шифруют свои сообщения симметричными системами. После завершения сеанса сеансовый ключ, как правило, уничтожается.
Алгоритм шифрования сеансового ключа выглядит следующим образомБрюс Шнайер. Прикладная криптография 2-е издание протоколы, алгоритмы и исходные тексты на языке C++:
Алгоритм: Взять открытый ключ Алисы Создать случайный сеансовый ключ Зашифровать сеансовый ключ с использованием открытого ключа Алисы:
Зашифровать сообщение с помощью сеансового ключа симметричным алгоритмом:
Алгоритм: Принять зашифрованный сеансовый ключ Боба Взять свой закрытый ключ Применить закрытый ключ для расшифровывания сеансового ключа:
Расшифровать сообщение с помощью сеансового ключа симметричным алгоритмом:
В случае, когда сеансовый ключ больше, чем модуль , сеансовый ключ разбивают на блоки нужной длины (в случае необходимости дополняют нулями) и шифруют каждый блок.
Корректность схемы RSA Уравнения и , на которых основана схема RSA, определяют взаимно обратные преобразования множества
Пример ЭтапОписание операцииРезультат операции Генерация ключейВыбрать два простых различных числа , Вычислить произведение Вычислить функцию Эйлера Выбрать открытую экспоненту e = 3Вычислить секретную экспонентуОпубликовать открытый ключ Сохранить закрытый ключ ШифрованиеВыбрать текст для зашифрования Вычислить шифротекст Расшифрование Вычислить исходное сообщение
Цифровая подпись Система RSA может использоваться не только для шифрования, но и для цифровой подписи.
Предположим, что Алисе (стороне ) нужно отправить Бобу (стороне ) сообщение , подтверждённое электронной цифровой подписью.
Алгоритм: Взять открытый текст Создать цифровую подпись с помощью своего секретного ключа :
Передать пару , состоящую из сообщения и подписи.
Алгоритм: Принять пару Взять открытый ключ Алисы Вычислить прообраз сообщения из подписи:
Проверить подлинность подписи (и неизменность сообщения), сравнив и
Поскольку цифровая подпись обеспечивает как аутентификацию автора сообщения, так и подтверждение целостности содержимого подписанного сообщения, она служит аналогом подписи, сделанной от руки в конце рукописного документа.
Важное свойство цифровой подписи заключается в том, что её может проверить каждый, кто имеет доступ к открытому ключу её автора. Один из участников обмена сообщениями после проверки подлинности цифровой подписи может передать подписанное сообщение ещё кому-то, кто тоже в состоянии проверить эту подпись. Например, сторона может переслать стороне электронный чек. После того как сторона проверит подпись стороны на чеке, она может передать его в свой банк, служащие которого также имеют возможность проверить подпись и осуществить соответствующую денежную операцию.