Критерий согласия Пирсона или критерий согласия (хи-квадрат) — непараметрический метод, который позволяет оценить значимость различий между фактическим (выявленным в результате исследования) количеством исходов или качественных характеристик выборки, попадающих в каждую категорию, и теоретическим количеством, которое можно ожидать в изучаемых группах при справедливости нулевой гипотезы. Выражаясь проще, метод позволяет оценить статистическую значимость различий двух или нескольких относительных показателей (частот, долей).

Является наиболее часто употребляемым критерием для проверки гипотезы о принадлежности наблюдаемой выборки объёмом некоторому теоретическому закону распределения .

Критерий хи-квадрат для анализа таблиц сопряжённости был разработан и предложен в 1900 году основателем математической статистики английским учёным Карлом Пирсоном.

Критерий может использоваться при проверке простых гипотез вида

где  — известный вектор параметров теоретического закона, и при проверке сложных гипотез вида

когда оценка скалярного или векторного параметра распределения вычисляется по той же самой выборке.

Статистика критерия Процедура проверки гипотез с использованием критериев типа предусматривает группирование наблюдений. Область определения случайной величины разбивают на непересекающихся интервалов необязательно одинаковой длины, которые задаются граничными точками

где  — нижняя грань области определения случайной величины;  — верхняя грань.

количество интервалов должно быть не менее 8 (если число параметров больше 7, то требуется большее количество интервалов . Однако, чаще всего , когда распределение определяется двумя параметрами - средним значением и параметром разброса ); в каждый интервал должно попасть не менее 7-8 значений, желательно одинаковое количество; если область определения бесконечна, то в качестве крайних интервалов берутся полупрямые.

В соответствии с заданным разбиением подсчитывают число выборочных значений, попавших в -й интервал, и вероятности попадания в интервал

соответствующие теоретическому закону с функцией распределения

При этом

и

При проверке простой гипотезы известны как вид закона , так и все его параметры (известен скалярный или векторный параметр ).

В основе статистик, используемых в критериях согласия типа , лежит измерение отклонений от .

Статистика критерия согласия Пирсона определяется соотношением

В случае проверки простой гипотезы, в пределе при эта статистика подчиняется -распределению с степенями свободы, если верна проверяемая гипотеза . Плотность -распределения, которое является частным случаем гамма-распределения, описывается формулой

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики, когда вычисленное по выборке значение статистики больше критического значения

или достигнутый уровень значимости (-значение) меньше заданного уровня значимости (заданной вероятности ошибки 1-го рода) .

Проверка сложных гипотез При проверке сложных гипотез, если параметры закона по этой же выборке оцениваются в результате минимизации статистики или по сгруппированной выборке методом максимального правдоподобия, то статистика при справедливости проверяемой гипотезы подчиняется -распределению с степенями свободы, где  — количество оценённых по выборке параметров.

Если параметры оцениваются по исходной негруппированной выборке, то распределение статистики не будет являться -распределением. Более того, распределения статистики при справедливости гипотезы будут зависеть от способа группирования, то есть от того, как область определения разбивается на интервалы.

При оценивании методом максимального правдоподобия параметров по негруппированной выборке можно воспользоваться модифицированными критериями типа .

О мощности критерия При использовании критериев согласия, как правило, не задают конкурирующих гипотез: рассматривается принадлежность выборки конкретному закону, а в качестве конкурирующей гипотезы — принадлежность любому другому. Естественно, что критерий по-разному будет способен отличать от закона, соответствующего , близкие или далёкие от него законы. Если задать конкурирующую гипотезу и соответствующий ей некоторый конкурирующий закон , то можно рассуждать уже об ошибках двух видов: не только об ошибке 1-го рода (отклонении проверяемой гипотезы при её справедливости) и вероятности этой ошибки , но и об ошибке 2-го рода (неотклонении при справедливости ) и вероятности этой ошибки .

Мощность критерия по отношению к конкурирующей гипотезе характеризуется величиной . Критерий тем лучше распознаёт пару конкурирующих гипотез и , чем выше его мощность.

Мощность критерия согласия Пирсона существенно зависит от способа группирования и от выбранного числа интервалов.

При асимптотически оптимальном группировании, при котором максимизируются различные функционалы от информационной матрицы Фишера по группированным данным (минимизируются потери, связанные с группированием), критерий согласия Пирсона обладает максимальной мощностью относительно «(очень) близких» конкурирующих гипотезДенисов В. И., Лемешко Б. Ю. Оптимальное группирование при обработке экспериментальных данных // Измерительные информационные системы. — Новосибирск, 1979. — С. 5—14. .

При проверке простых гипотез и использовании асимптотически оптимального группирования критерий согласия Пирсона имеет преимущество в мощности по сравнению с непараметрическими критериями согласия. При проверке сложных гипотез мощность непараметрических критериев возрастает и такого преимущества нет. Однако для любой пары конкурирующих гипотез (конкурирующих законов) за счёт выбора числа интервалов и способа разбиения области определения случайной величины на интервалы можно максимизировать мощность критерия — Раздел 4.9..

Ограничения критерия Критерий хи-квадрат Пирсона, хотя и является одним из наиболее распространённых методов для проверки связи между категориальными переменными или оценки соответствия наблюдаемых и ожидаемых частот, имеет ряд существенных ограничений. Во-первых, он требует достаточно большой выборки для получения надёжных результатов — ожидаемое количество наблюдений в каждой ячейке таблицы сопряжённости должно быть не менее 5. При малых объёмах выборки или наличии редких категорий приближение к распределению хи-квадрат становится неточным, что может привести к ошибочным выводам. Кроме того, тест предполагает независимость наблюдений.

Ещё одним ограничением критерия хи-квадрат является то, что он не показывает силу или направление связи, а лишь указывает на наличие статистически значимого различия. Также тест чувствителен к размеру выборки: при очень больших данных даже незначительные отклонения могут оказаться статистически значимыми.

Например, в тесте однородности Пирсона (Pearson's test of homogeneity), если все элементы таблицы сопряжённости умножаются на положительную константу , то статистика хи-квадрат Пирсона также умножается на :

Следовательно, если все строки матрицы строго пропорциональны, то

для любого и любого уровня значимости . В противном случае значение может становиться сколь угодно большим или малым при увеличении или уменьшении . Таким образом, при фиксированном уровне значимости нулевая гипотеза будет отклонена с доверительной вероятностью , если достаточно велико, и не будет отклонена, если достаточно мало. Иными словами, статистика хи-квадрат растёт линейно при умножении всей таблицы сопряжённости на постоянный множитель, что отражает пропорциональное масштабирование наблюдаемых и ожидаемых частот.

Наконец, метод неприменим напрямую к непрерывным данным — их необходимо предварительно категоризировать, что приводит к потере информации и снижению статистической мощности.

См. также Точный критерий Фишера

Примечания

Литература

См. также Критерий хи-квадрат Распределение хи-квадрат Квантили распределения хи-квадрат

Ссылки Критерий Пирсона на сайте Новосибирского государственного университета Критерии типа хи-квадрат на сайте Новосибирского государственного технического университета (Рекомендации по стандартизации Р 50.1.033-2001)

Категория:Теория вероятностей Категория:Статистические критерии