Кванти́ль — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.
Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем. Например, фраза «90-й процентиль массы тела у новорожденных мальчиков составляет 4 кг» означает, что 90 % мальчиков рождаются с весом, меньшим либо равным 4 кг, а 10 % мальчиков рождаются с весом, большим либо равным 4 кг.
Определение Пусть - вероятностное пространство и — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины . Пусть также фиксировано . Тогда -квантилем (или квантилью уровня (порядка) ) распределения называется число такое, что
В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе) -м -квантилем называется квантиль уровня , то есть -квантиль в предыдущих обозначениях.
Замечания Если распределение непрерывно, то -квантиль однозначно задаётся уравнением
где — функция распределения . Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:
Для эмпирического распределения -квантиль можно задать следующим способом: составляем вариационный ряд значений (выборка имеет объём ), а также считаем, что (это необходимо при вычислении 100 % квантили по приводимым ниже формулам); находим величину ; сравниваем и : a) если , то полагаем ; б) если , то полагаем ; в) если , то полагаем . Заданный таким образом -квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.
В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства можно использовать приближённое сравнение (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).
Медиана и квартили
0,25-квантиль называется первым (или нижним) кварти́лем (от — четверть); 0,5-квантиль называется медианой (от — середина) или вторым кварти́лем; 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) кварти́лем. Интеркварти́льным размахом () называется разность между третьим и первым квартилями, то есть . Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.
Дециль Деци́ль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.
Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение.
Процентиль -м проценти́лем называют квантиль уровня . Соответственно, медиана является 50-м процентилем, а первый и третий квартиль — 25-м и 75-м процентилями соответственно.
В целом, понятия квантиль и процентиль взаимозаменяемы, так же, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.
Процентили также называются перцентилями или центилями.
Квантили стандартного нормального распределения Вероятность (уровень квантиля), % 99,99 99,90 99,00 97,72 97,50 95,00 90,00 84,13 50,00 Квантиль (округлённый до тысячных) 3,719 3,09 2,326 1,999 1,96 1,645 1,282 1 0
См. также
Квантили распределения Стьюдента Квантили распределения хи-квадрат Нормальное распределение Доверительный интервал Наукометрия
Примечания
Ссылки
Категория:Математическая статистика