Аддити́вная тео́рия чи́сел — раздел теории чисел, возникший при изучении задач о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида (например, на простые числа. фигурные числа, е степени ).
Среди классических проблем, исследование которых заложило фундамент аддитивной теории чисел, можно назвать следующие. Задача о представлении числа суммой четырёх квадратов и её обобщение: теорема Ферма о многоугольных числах. Задача о представлении простого числа в виде суммы двух квадратов. Проблема Гольдбаха. Проблема Варинга. Гипотезы Поллока. Решение этих проблем осложняется тем, что в формулировках одновременно участвуют несколько базовых операций с натуральными числами: (мультипликативные) — деление, с помощью которого определяются простые числа, и умножение, формирующее квадраты, кубы ; (аддитивные) — сложение. Связь между аддитивными и мультипликативными свойствами чисел чрезвычайно сложна, и эта сложность ответственна за трудности при решении многих проблем теории чисел.
Современная аддитивная теория чисел включает широкий круг задач по исследованию абелевых групп и коммутативных полугрупп с операцией сложения. Аддитивная теория чисел тесно связана с комбинаторной теорией чисел (особенно с аддитивной комбинаторикой) и с геометрией чисел, в ней применяются аналитические, алгебраические и вероятностные методы. В зависимости от методов решения, аддитивные задачи входят составной частью в другие разделы теории чисел — аналитическую теорию чисел, теорию алгебраических чисел, .
История Первые систематические результаты в аддитивной теории чисел были получены Леонардом Эйлером, который опубликовал в 1748 году исследование (с помощью степенных рядов) разложения натуральных чисел на натуральные слагаемые; в частности, им была рассмотрена задача о разложении числа на заданное количество слагаемых и доказана On Euler's Pentagonal Theorem at MathPages.. В этот же период возникли две классические проблемы аддитивного типа: проблема Гольдбаха и проблема Варинга, в дальнейшем появились десятки новых задач.
Для решения многих из этих проблем оказались полезны такие общие инструменты, как , метод решета и метод тригонометрических сумм. Гильберт доказал, что для любого целого числа любое натуральное число является суммой ограниченного числа слагаемых в степени . Лев Шнирельман в 1930 году ввёл понятие плотности последовательности натуральных чисел, что позволило существенно продвинуться в решении проблемы Гольдбаха и доказать обобщённую теорему Варинга..
Григорий Фрейман в 1964 году доказал важную из области аддитивной комбинаторики.
Современное состояние Подмножество называется (асимптотическим) конечного порядка , если любое достаточно большое натуральное число может быть записано как сумма не более элементов . Например, натуральные числа сами являются аддитивным базисом порядка 1, поскольку каждое натуральное число тривиально является суммой не более одного натурального числа. Менее тривиальна теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов, показавшая, что множество квадратных чисел является аддитивным базисом четвёртого порядка. Другой весьма нетривиальный и широко известный результат в этом направлении — теорема Виноградова о том, что любое достаточно большое нечётное натуральное число можно представить как сумму трёх простых чисел.
Многие современные исследования в этой области касаются свойств общих асимптотических базисов конечного порядка. Например, множество называется минимальным асимптотическим базисом порядка если является асимптотическим базисом порядка , но никакое собственное подмножество не является асимптотическим базисом порядка . Доказано, что минимальные асимптотические базисы порядка существуют для всякого , а также существуют асимптотические базисы порядка , не содержащие минимальных асимптотических базисов порядка .
Рассматривается также проблема — насколько можно уменьшить количество представлений в виде суммы элементов асимптотического базиса. Этому посвящена до сих пор не доказанная (1941 год).
См. также Композиция числа
Разбиение числа
Примечания
Литература
Ссылки Бредихин Б. М. Additive number theory, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001
Категория:Аддитивная теория чисел