Обобщённая тригонометрия — совокупность различных обобщений определений и результатов классической тригонометрии.
Обычная тригонометрия изучает треугольники в евклидовой плоскости . Существует несколько способов определения обычных тригонометрических функций евклидовой геометрии в вещественных числах: через прямоугольный треугольник, единичную окружность, ряды, дифференциальные и функциональные уравнения. Разработка обобщений тригонометрических функций часто заключается в адаптации одного из вышеперечисленных методов к ситуации, в которой не используются вещественные числа евклидовой геометрии. В общем случае тригонометрию можно рассматривать как изучение троек точек в любой геометрии и любом пространстве. Треугольник — это многоугольник с наименьшим числом вершин, поэтому одним из направлений для обобщения является изучение многомерных аналогов углов и многоугольников: телесный угол и многогранники, такие как тетраэдры и -симплексы.
Тригонометрия В сферической тригонометрии изучаются треугольники на поверхности сферы. Тождества для сферических треугольников записываются в терминах обычных тригонометрических функций, но отличаются от тождеств для плоских треугольников. Гиперболическая тригонометрия: Исследование гиперболических треугольников в гиперболической геометрии с помощью гиперболических функций. Использование гиперболических функций в евклидовой геометрии — единичный круг параметризуется точкой , тогда как равносторонняя гипербола параметризуется точкой . Гиротригонометрия — форма тригонометрии, используемая в подходе к гиперболической геометрии, имеющая приложения в специальной теории относительности и квантовых вычислениях. — теория канадского математика Н. Дж. Уайлдбергера, основной идеей которой является замена понятия длины на «квадрант» (квадрат евклидова расстояния) и понятия угла на «разброс» (квадрат синуса соответствующего угла). Тригонометрия для геометрии городских кварталов. Тригонометрия пространства-времени. Нечёткая качественная тригонометрия. Операторная тригонометрия. Решёточная тригонометрия. Тригонометрия на симметричных пространствах.
Более высокие размерности . : Теорема синусов для тетраэдров. Симплексы с «ортогональным углом» — теоремы Пифагора для -симплексов: Теорема де Гуа — теорема Пифагора для тетраэдра с кубическим углом.
Тригонометрические функции Тригонометрические функции могут быть определены для . В дифференциальные и разностные уравнения объединены в динамические уравнения на шкале времени, которые также включают . Тригонометрические функции могут быть определены в произвольной шкале времени (подмножество вещественных чисел). Определения синуса и косинуса через ряды позволяют определить эти функции на любой алгебре, где эти ряды сходятся, например над комплексными числами, p-адическими числами, матрицами и различными банаховыми алгебрами.
Другое Полярные/Тригонометрические формы гиперкомплексных чисел Полигонометрия — тригонометрические тождества для нескольких различных углов.
См. также Теорема Пифагора в неевклидовой геометрии
Примечания
Категория:Тригонометрия