Нера́венство Йе́нсена — неравенство, связанное с понятием выпуклой функции.
Формулировки
Сумматорный вариант неравенства Пусть функция является выпуклой на некотором интервале и числа (веса) таковы, что и Тогда каковы бы ни были числа из , выполняется неравенство, известное под названием неравенства Йенсена:
или
Замечания: Если функция вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный. Сам Иоган Йенсен исходил из более частного условия, отвечающего случаю :
Для непрерывных функций оно эквивалентно выпуклости.
Сумматорное неравенство Йенсена было известно еще Гёльдеру.
Геометрическая интерпретация Точка является выпуклой комбинацией точек плоскости, лежащих на графике функции . Из определения выпуклой функции следует, что выпуклая оболочка этого множества точек лежит над графиком функции , а это и означает, что .
Интегральная формулировка Пусть — выпуклая функция, — вероятностная мера, а функции и интегрируемы. Тогда
Для случая меры Лебега это неравенство имеет вид
Вероятностная формулировка Пусть — вероятностное пространство, и — определённая на нём случайная величина. Пусть также — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если , то
где означает математическое ожидание.
Неравенство Йенсена для условного математического ожидания Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, — под-σ-алгебра событий. Тогда
где обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры .
Частные случаи
Неравенство Гёльдера Пусть — положительные числа, , причём . Тогда
Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом Пусть (вогнутая функция). Имеем:
или
Потенцируя, получаем неравенство
В частности, при получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического):
Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим Пусть (выпуклая функция). Имеем:
Положив
и потенцируя, получаем:
(среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического).
Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим Пусть (выпуклая функция). Имеем:
В частности при получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:
См. также Неравенство Юнга Неравенство Минковского Неравенство Гюйгенса Неравенство Гёльдера
Примечания
Литература
Йенсена Категория:Теория вероятностей Йенсена Йенсена Йенсена Категория:Выпуклый анализ