Голомо́рфная вы́пуклость (, от др.-греч. ὅλος — весь и др.-греч. μορφή — форма, образ) области комплексного пространства — понятие комплексного анализа, раздела математики, связанное с невозможностью коснуться границы области изнутри аналитической поверхностью. Это частный максимальный случай К-выпуклости: произвольная К-выпуклая область всегда голоморфно выпукла.
Синоним: аналитическая выпуклость.
Голоморфная выпуклость обобщает более наглядное понятие обычной геометрической выпуклости, но при этом доставляет необходимое и достаточное условие для областей голоморфности.
Определение голоморфной выпуклости Голоморфная выпуклость — свойство области такое, что для произвольного множества , компактно принадлежащего , , множество
компактно в , . Другими словами, область называется голоморфно выпуклой, когда для любого множества , компактно принадлежащего , , существует такое множество , , что для произвольной точки найдется такая функция , голоморфная в области , , что выполняется следующее неравенство: .
Альтернативное определение. Голоморфно выпуклая оболочка произвольного множества — множество точек , где данное неравенство верно для всех функций , голоморфных в области , . Область называется голоморфно выпуклой, когда голоморфно выпуклая оболочка любого множества , компактно принадлежащего , также компактно принадлежит : .
Такие определения голоморфно выпуклой области хороши тем, что с их помощью можно определять голоморфную выпуклость, не выходя за пределы области. Очевидно, что для линейных голоморфных функций голоморфная выпуклость совпадает с обычной геометрической выпуклостью. Для иллюстрации на рисунке справа продемонстрировано, каким образом обычная невыпуклость области нарушает условие .
Характеристика области голоморфности Достаточность области голоморфности
Теорема 1. Условие голоморфной выпуклости области комплексного пространства необходимо и достаточно для того, чтобы она была областью голоморфности.
Но эта характеристика менее наглядна и эффективно проверяемая, чем условие обычной геометрической выпуклости. Теория субгармонических функций позволяет обосновать другую трактовку характеристики области голоморфности, которая более геометрична и позволяет определить эффективные критерии областей голоморфности.
Достаточность утверждения теоремы формулируется в виде следующей теоремы.
Теорема 2 (Картан и Туллен). Любая голоморфно выпуклая область комплексного пространства есть область голоморфности.
Примечания
Источники
Категория:Общая топология Категория:Многомерный комплексный анализ