Интегральный арктангенс () — специальная функция, обозначаемая и определяемая следующим образом: . Эквивалентно может быть определена с помощью степенного ряда или через дилогарифм — другую специальную функцию, тесно связанную с данной.
Определения Функция определяется интегралом , при этом под арктангенсом понимается его главная ветвь, то есть для всех вещественных .
Функция также представляется рядом Маклорена , который сходится абсолютно при .
Интегральный арктангенс тесно связан с дилогарифмом и выражается через него следующим образом: , то есть,
для любого вещественного .
Интегральный арктангенс связан с хи-функцией Лежандра второго порядка : .
При этом может быть представлена в виде аналогично интегральному арктангенсу, но с использованием гиперболического ареатангенса вместо арктангенса.
Также может быть выражен через трансцендентную функцию Лерха : .
Интегральный арктангенс от тангенса выражается через : .
Возможны и другие эквивалентные способы определения интегрального арктангенса:
, где — эта-функция Дирихле; , где — постоянная Каталана.
Последнее выражение даёт разложение функции в ряд Фурье.
Свойства Интегральный арктангенс является нечётной функцией: .
Кроме того, значения и связаны следующим соотношением: , которое верно для всех (точнее, для всех комплексных с ). Это свойство может быть доказано дифференцированием и применением формулы . В модифицированном виде
оно верно для всех вещественных .
При .
Рамануджан обнаружил, что .
При к функции применима следующая формула двойного аргумента, выводимая из соотношения : , для она принимает вид .
При верна формула тройного аргумента, которая является следствием из формулы : . Она также выражается в тригонометрической форме: .
Частные значения , где — постоянная Каталана; ; . Два выражения выше можно переписать в тригонометрической форме: ; .
Кроме того, известны связи между отдельными значениями интегрального арктангенса:
.
Последнее соотношение может быть получено в тригонометрической форме с помощью формулы тройного аргумента: .
Обобщения
Аналогично полилогарифму можно определить семейство функций .
Эти функции удовлетворяют рекуррентному соотношению .
Формула, связывающая значения и , в общем случае имеет следующий вид: , и верна для всех .
Разложение в ряд показывает, что , где — бета-функция Дирихле.
Обобщённый интегральный арктангенс Функция двух переменных называется обобщённым интегральным арктангенсом.
При верно соотношение .
Частная производная этой функции по параметру является элементарной функцией и равна .
Для обобщённого интегрального арктангенса верна формула обмена аргумента и параметра: .
Может быть выражен через функцию Клаузена: .
История изучения изучал семейство функций в 1809 году, обозначая их как ; позже функцию также изучал Рамануджан. Современные обозначения и введены Льюином.
Примечания
Литература
Appears in:
Категория:Специальные функции