Ряд Кемпнера () — модификация гармонического ряда, образованная из него путём удаления всех членов, знаменатель которых, будучи выраженным в десятичной системе счисления, содержит цифру 9.

Обозначается , где штрих указывает на то, что принимает только те значения, в десятичной записи которых нет девяток. Ряд был впервые изучен в 1914 году. Свойства этого ряда контринтуитивны, поскольку, в отличие от гармонического ряда, он сходится. Кемпнер доказал, что сумма этого ряда меньше 90. Бейли вычислил, что с точностью до 20 знаков после запятой эта сумма равна 22,92067661926415034816 ().

Сходимость ряда можно наглядно обосновать тем, что большинство больших целых чисел содержат все цифры от 0 до 9. Например, случайное 100-значное целое число, скорее всего, содержит по крайней мере одну цифру «9», что исключает соответствующее слагаемое из данной суммы.

Шмельцер и Бейли нашли эффективный алгоритм для решения более общей задачи о любой удаляемой последовательности цифр. Например, сумма , где не содержит ни одного вхождения «42», равна примерно 228,44630415923081325415. Другой пример: сумма , где в не встречается строки «314159» — примерно 2302582,33386378260789202376 (с округлением до последней цифры).

Сходимость Доказательство сходимости, представленное Кемпнером, используется в некоторых учебниках, например, у Харди и Райта, а также приводится в качестве упражнения у Апостола. Слагаемые группируются по количеству цифр в знаменателе. Число n-значных натуральных чисел, в которых ни одна цифра не равна «9», равно , поскольку существует 8 способов (от 1 до 8) выбрать первую цифру и по 9 независимых способов (от 0 до 8) для каждой из остальных цифр. Каждое из этих n-значных чисел, не содержащих «9», больше или равно , поэтому обратная величина к каждому из них меньше или равна . Следовательно, вклад этой группы в сумму обратных величин меньше, чем . Тогда вся сумма обратных чисел равна не более, чем .

Такое же обоснование применимо и к любой другой ненулевой цифре, удаляемой из суммы. Число n-значных натуральных чисел, в которых нет «0», равно , поэтому сумма , где не содержит цифры «0», равна не более чем .

См. также Постоянная Эйлера — Маскерони

Примечания

Категория:Ряды Категория:Целочисленные последовательности, зависящие от системы счисления