Окружность Карлейла

Окружность Карлейла — это определённая окружность на координатной плоскости, ассоциированная с квадратным уравнением. Окружность названа именем Томаса Карлейла. Окружность имеет свойство, что решения квадратичного уравнения являются горизонтальными координатами пересечения окружности с осью абсцисс. Окружность Карлейла использовалась для разработки построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.

Определение

Если дано квадратное уравнение

окружность на координатной плоскости, имеющая отрезок, соединяющий точки и в качестве диаметра, называется окружностью Карлейла квадратичного уравнения.

Определяющее свойство Определяющее свойство окружности Карлейла может быть сформулировано следующим образом: уравнение окружности, имеющей отрезок AB в качестве диаметра есть . Абсциссы точек, в которых окружность пересекает ось x являются корнями уравнения (полученного при подстановке в уравнение окружности) .

Построение правильных многоугольников

Правильный пятиугольник

Задача построения правильного пятиугольника эквивалентна задаче построения корней уравнения . Один корень этого уравнения — , что соответствует точке . Удалив множитель, соответствующий этому корню, остальные корни оказываются корнями уравнения . Эти корни можно представить в виде , где . Пусть они соответствуют точкам . Положим

мы имеем . (Верность этого можно быстро показать прямой подстановкой в уравнение четвёртой степени выше и заметив, что и .) Так что и являются корнями квадратичного уравнения . Окружность Карлейла, соответствующая этому квадратичному уравнению имеет диаметр с конечными точками (0, 1) и (−1, −1) и центром (−1/2, 0). Окружности Карлейла используется для построения и . Из определения и также следует, что . Они затем используются для построения точек .

Подробная процедура построения правильных пятиугольников с помощью окружности Карлейла дана ниже. Рисуем окружность, в которую будем вписывать пятиугольник, и отмечаем её центр O. Рисуем горизонтальную прямую через центр окружности. Отмечаем пересечение с окружностью буквой B. Строим вертикальную прямую через центр. Отмечаем пересечение с окружностей буквой A. Строим точку M как середину отрезка, соединяющего точки O и B. Рисуем окружность с центром в точке M и проходящую через точку A. Это окружность Карлейла для . Отметим её пересечение с горизонтальной прямой (внутри исходной окружности) как точку W и её пересечение вне окружности как точку V. Это упомянутые выше точки и . Рисуем окружность с радиусом OA с центром W. Она пересекает исходную окружность в двух вершинах пятиугольника. Рисуем окружность с радиусом OA и центром V. Она пересекает исходную окружность в двух вершинах пятиугольника. Пятая вершина является пересечением горизонтальной оси с исходной окружностью.

Правильный семнадцатиугольник

Имеется похожий метод, использующий окружности Карлейла для построения правильного семнадцатиугольников. Рисунок справа иллюстрирует процедуру.

Правильный 257-угольник

Для построения правильного 257-угольника с помощью окружности Карлейла необходимо построить 24 окружности Карлейла. Одна из них — это окружность для решения квадратного уравнения .

Правильный 65537-угольник

Существует метод построения правильного 65537-угольника с помощью окружностей Карлейла. Однако его практическая реализация сопряжена с трудностями. Например, требует построения окружности Карлейла для решения квадратного уравнения .

История

Согласно (1911–2004) математик Джон Лесли (1766–1832) описал геометрическое построение корней квадратного уравнения с помощью окружности в своей книге Элементы геометрии и заметил в 1817 году, что эту идею ему предложил его бывший ученик Томас Карлейл (1795–1881). Тем не менее, хотя описание в книге Лесли содержит аналогичное построение с использованием окружности, оно было представлено исключительно в терминах элементарной геометрии, без привлечения понятия декартовой системы координат, квадратной функции и ее корней:

В 1867 году австрийский инженер Эдуард Лиль опубликовал графический метод для определения корней многочлена (метод Лиля). Когда метод применяется к квадратичной функции, то получается трапеция из решение Карлейла для задачи Лесли (см. график) с одной стороной, равной диаметру окружности Карлейла. В статье 1925 года Геральд А. Миллер указал, что небольшая модификация метода Лилля, примененная к нормированной квадратичной функции, дает окружность, позволяющую геометрически построить корни этой функции, и дал явное современное определение того, что впоследствии было названо окружностью Карлейла.

Ивс использовал окружность в современном понимании в одном из упражнений своей книги Введение в историю математики (1953) и указал на связь с Лесли и Карлейлем. В последующих публикациях стали использовать названия окружность Карлейла, метод Карлейла или алгоритм Карлейла, хотя в немецкоязычных странах также используется термин окружность Лилля. ДеТемпл в 1989 и 1991 годах использовал окружности Карлейла для разработки построений правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки, в частности, пятиугольника, семнадцатиугольника, 257-угольника и 65537-угольник. Ладислав Беран в 1999 году описал, как окружность Карлейла может быть использована для построения комплексных корней нормированной квадратичной функции.

Примечания

Категория:Евклидова геометрия Категория:Многоугольники Категория:Планиметрия Категория:Элементарная алгебра Категория:Уравнения