Круги-близнецы — это две специальные окружности, связанные с арбелосом. Арбелос определяется тремя коллинеарными точками , и и является криволинейной треугольной областью между тремя полукругами, которые имеют , и в качестве диаметров. Если арбелос разделён на две меньшие области отрезком, проходящим через среднюю точку (точку ) и перпендикулярным прямой , то каждая из двух кругов-близнецов лежит в одной из этих двух областей, касаясь двух полуокружностей и разделяющего отрезка.
Эти окружности появились впервые в книге Леммы, в которой показано (Предложение V), что две окружности конгруэнтны. Сабит ибн Курра, переведший книгу на арабский язык, приписал это утверждение греческому математику Архимеду. Основываясь на этом утверждении круги-близнецы и некоторые другие окружности в арбелосе, конгруэнтные кругам-близнецам, называют также окружностями Архимеда. Однако, это приписывание авторства позднее учёными было поставлено под вопрос.
Построение
Пусть , и — три вершины арбелоса, причем точка лежит между и . Пусть — это точка, в которой большая полуокружность пересекает перпендикуляр к отрезку , проходящий через точку . Отрезок делит арбелос на две части. Круги-близнецы это две окружности, вписанные в эти части, каждая из которых касается одной из меньших полуокружностей, отрезка и большой полуокружности.
Каждый из двух кругов однозначно определяется тремя точками касания. Их построение является частным случаем задачи Аполлония.
Были также найдены альтернативные способы построения кругов, конгруэнтных этим кругам-близнецам. Эти круги также называют Архимедовыми кругами. К ним относятся , окружности Шоха и .
Свойства Пусть a и b будут диаметрами двух внутренних полуокружностей, так что диаметр внешней полуокружнсти будет равен . Тогда диаметр каждого из кругов-близнецов будет равен.
Альтернативно, если диаметр внешней полуокружности равен единице, а внутренние окружности имеют диаметры и , то диаметр каждого из близнецов равен.
Наименьшая окружность, заключающая в себе оба круга-близнеца, имеет ту же площадь, что и арбелос.
Смотрите также прямая Шоха
Примечания
Категория:Греческие математики Категория:Архимед