В теории вероятности и особенно в математической статистике семейство сдвига-масштаба — это семейство распределений вероятности, параметризирумое параметром сдвига и неотрицательным параметром масштаба. Для любой случайной величины , чьё распределение вероятности принадлежит к такому семейству, функция распределения также принадлежит к семейству (где обозначает равенство по распределению, то есть "имеет такое же распределение").
Другими словами, класс распределений вероятности является семейством сдвига-масштаба, если все функции распределения и для любых действительные чисел и функция распределения также принадлежит .
Если имеет функцию распределения , то имеет функцию распределения . Если дискретная случайная величина с функцией вероятности , то у дискретная случайная величина с функцией вероятности . Если непрерывная случайная величина с плотностью распределения , то непрерывная случайная величина с плотностью распределения . Если у есть производящая функция моментов , то для производящей функцией моментов будет . Если у есть характеристическая функция , то для характеристическая функция будет .
Более того, если функции распределения случайных величин и принадлежат к одному семейству, то, предполагая существование первых двух моментов и что у нулевое среднее и единичная дисперсия, может быть представлена как , где и среднее и стандартное отклонение .
В теории принятия решений известно, что если для лица, принимающего решения, доступны альтернативные распределения, также принадлежащие семейству сдвига-масштаба, и для которых первые два момента конечные, то применима двухмоментная модель принятия решений, выбор можно формулировать в терминах средних и дисперсий распределений.
Примеры
Часто термин "семейство сдвига-масштаба" употребляют для случаев, когда все члены имеют одинаковую функциональную форму. Большинство семейств сдвига-масштаба , хотя и не все. Перечислим известные семейства с одинаковыми функциональными формами распределению: Нормальное распределение
Распределение Коши Непрерывное равномерное распределение Дискретное равномерное распределение Логистическое распределение Распределение Лапласа Распределение Стьюдента
Преобразование конкретного распределения к семейству сдвига-масштаба
Здесь показывается как реализовать семейство сдвига-масштаба в статистическом пакете или программном окружении, где доступны только "стандартные" версии функций распределения. Демонстрация написана для R, но может быть обобщена для любого языка и библиотеки.
Пример разобран на t-распределении Стьюдента, которое доступно в R только в стандартной форме с единственным параметром степени свободы df. Версии ниже с добавленным _ls показывают как обобщить его до обобщённого t-распределения Стьюдента с произвольными параметрами сдвига m и масштаба s.
Плотность вероятности: dt_ls(x, df, m, s) = 1/s * dt((x - m) / s, df)Функция распределения: pt_ls(x, df, m, s) = pt((x - m) / s, df) (обратная функция распределения): qt_ls(prob, df, m, s) = qt(prob, df) * s + mСгенерировать случайную величину: rt_ls(df, m, s) = rt(df) * s + m
Отметим, что у этих обобщённых функций s не совпадает со стандартным отклонением, поскольку t-распределение не может иметь стандартное отклонение равное .
Примечания
Внешние ссылки http://www.randomservices.org/random/special/LocationScale.html
Категория:Теория распределений вероятности Категория:Проверка статистических гипотез