Неравенство Герретсена — двойное неравенство в геометрии треугольника, связывающее полупериметр треугольника с радиусами его вписанной и описанной окружностей. Названо по имени голландского математика Иоханнеса Герретсена, впервые опубликовавшего его в 1953 годуGerretsen, J. Ongelijkheden in de driehoek. Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, 1953, Vol. 41, pp. 1–7..

Формулировка

Для любого невырожденного треугольника со сторонами , полупериметром , радиусом описанной окружности и радиусом вписанной окружности выполняется двойное неравенство:

Равенство в правой части достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний. Левая часть является предельной и достигается в случае, когда треугольник вырождается в отрезокMitrinović, D. S.; Pečarić, J. E.; Volenec, V. Recent Advances in Geometric Inequalities. Kluwer Academic Publishers, 1989..

Доказательство правой части

Рассмотрим неравенство:

Обозначим через — инцентр (центр вписанной окружности), а через — ортоцентр (точку пересечения высот) треугольника. Квадрат расстояния между этими точками всегда неотрицателен: .

Существует алгебраическое выражение для через длины сторон Yang, X. A new proof of Gerretsen's inequalities. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2001, Vol. 2, No. 2, Article 21.:

где числитель — симметричный многочлен шестой степени:

Знаменатель равен , где — площадь треугольника, и, следовательно, положителен. Из условия следует .

С другой стороны, используя стандартные тождества

можно показать, что

Поскольку и , множитель положителен. Следовательно, из следует

то есть

что и требовалось доказать.

Равенство достигается при , то есть когда инцентр и ортоцентр совпадают, что возможно только в равностороннем треугольнике.

См. также Треугольник Геометрические неравенства Неравенство Эйлера Формула Герона

Примечания

Литература Mitrinović D. S., Pečarić J. E., Volenec V. Recent Advances in Geometric Inequalities. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1989. Bottema O. et al. Geometric Inequalities. — Groningen: Wolters-Noordhoff, 1969.

Категория:Неравенства Категория:Тригонометрия