В статистике t-статистика — это отношение разности между оценкой параметра и предполагаемым значением этого параметра к стандартной ошибке этой оценки. Используется при проверке статистических гипотез с помощью t-теста Стьюдента. t-статистика используется в t-критерии, чтобы определить, следует ли отвергать нулевую гипотезу или не отвергать. Это очень похоже на z-оценку, но с той разницей, что t-статистика используется, когда размер выборки небольшой или стандартное отклонение неизвестно. Например, t-статистика используется для оценки среднего генеральной совокупности на основе выборочных средних, если стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно. t-статистику также используют вместе с p-значением при проверке гипотез, где p-значение показывает, насколько вероятен при нулевой гипотезе результат, сопоставимый с наблюдаемым.

Определение и свойства Пусть оценка параметра в какой-нибудь статистической модели. Тогда t-статистикой для этого параметра называется любая величина вида , где  — неслучайная известная константа, которая может совпадать или не совпадать с истинным значением параметра , а  — это стандартная ошибка оценки параметра .

По умолчанию статистические пакеты выводят t-статистику при (эти t-статистики используются для проверки гипотез на значимость соответствующего регрессора). Тем не менее, когда t-статистика используется для проверки гипотезы вида , тогда может использоваться ненулевое значение .

Если получена с помощью в классической модели линейной регрессии (такой, где ошибки нормально распределены и гомоскедастичны) и если истинное значение параметра равно , то является t-распределением Стьюдента с степенями свободы, где  — число наблюдений, а  — число регрессоров (включая свободный член).

В большинстве моделей оценка  — состоятельна и распределена асимптотически нормально. Если истинное значение параметра равно и величина корректно оценивает асимптотическую дисперсию этой оценки, тогда t-статистика асимптотически имеет стандартное нормальное распределение.

В некоторых моделях распределение t-статистики отличается от нормального распределения даже асимптотически. Например, когда временной ряд с единичным корнем регрессируется в расширенном тесте Дики — Фуллера, распределение t-статистики критерия асимптотически имеет одно из распределений Дики — Фуллера (в зависимости от постановки критерия).

Использование

Чаще всего t-статистика используется в t-тестах Стьюдента — форме проверки статистических гипотез, и вычислении определённых доверительных интервалов.

Ключевое свойство t-статистики состоит в том, что она является центральной величиной, хоть она определяется через выборочное среднее, её выборочное распределение не зависит от параметров генеральной совокупности и поэтому её можно использовать при любых их значениях.

Предсказание

Дано нормальное распределение с неизвестным средним и неизвестной дисперсией. После наблюдений для будущего наблюдения можно построить t-статистику, которая является вспомогательной статистикой — центральной величиной, которая не зависит от значений и , и статистикой, то есть функцией от выборки. Это позволяет вычислить частотный (предсказательный доверительный интервал) с помощью следующего t-распределения: . Решая относительно , получаем предсказательное распределение , из которого можно вычислить предсказательные доверительные интервалы — для данной вероятности можно вычислить интервалы такие, что в случаев следующее наблюдение будет попадать в этот интервал.

История

Термин «t-статистика» — это сокращение от английского выражения «hypothesis test statistic» — статистика критерия проверки гипотезы. В статистике t-распределение было впервые выведено как апостериорное распределение Гельмертом и в 1876 году. t-распределение также появляется в более общей форме как распределение Пирсона тип IV в работе Карла Пирсона, написанной в 1895 году. Тем не менее, t-распределение, также известное как t-распределение Стьюдента, получило своё название от Уильяма Сили Госсета, который первым опубликовал этот результат на английском языке в своей работе 1908 года «Вероятная ошибка среднего» (в Biometrika). Госсет использовал псевдоним «Стьюдент», чтобы скрыть свою личность, поскольку его работодатель предпочитал, чтобы сотрудники публиковали научные работы под псевдонимами, а не под настоящими именами. в Дублине (Ирландия) была заинтересована в задачах с малыми выборками, например, химические свойства ячменя, размер выборки которого может составлять всего три наблюдения. Отсюда возникла вторая версия происхождения термина «Стьюдент»: Гиннесс не хотел, чтобы его конкуренты знали, что они используют t-критерий для определения качества сырого материала. Хотя псевдоним «Стьюдент» связан с Уильямом Госсетом, широкое распространение такие выражения, как «распределение Стьюдента» и «t-критерий Стьюдента» получили благодаря работам Рональда Фишера.

Связанные понятия z-оценка: если известны параметры генеральной совокупности, вместо вычисления t-статистики можно найти z-оценку; аналогично, вместо использования t-критерия можно использовать z-тест. Вне стандартизированного тестирования это применяется редко. : в регрессионном анализе стандартные ошибки оценки в разных точках данных различаются (например, в середине и конечных точках простой линейной регрессии), и поэтому нужно делить различные остатки на различные оценки ошибки. Такие величины называются стьюдентизированными остатками. Выборочная z-оценка: если в z-оценке заменить среднее и стандартное отклонение генеральной совокупности выборочным средним и выборочным стандартным отклонением, получим:.Это стандартизированное наблюдение связано с t-статистиками, потому что оно использует оценённый параметр масштаба. Не стоит путать с одновыборочной t-статистикой,которая стандартизирует выборочное среднее с помощью его оценённой стандартной ошибки.

См. также F-тест

Распределение Стьюдента t-критерий Стьюдента Проверка статистических гипотез

Распределение хи-квадрат

Примечания