Теорема Уркхарта — теорема евклидовой геометрии, устанавливающая связь между равенствами сумм длин отрезков в определённой конфигурации из двух пересекающихся прямых. Теорема названа в честь математика М. Л. Уркхарта (1902—1966),. Уркхарт считал её «самой элементарной теоремой евклидовой геометрии», поскольку в её формулировке используются только понятия прямой и расстояния.
Формулировка Пусть (AC) и (AE) — две прямые, пересекающиеся в точке (A). Пусть (B) — точка прямой (AC), а (D) — точка прямой (AE). Предположим, что прямые (BE) и (CD) пересекаются в точке (F). Тогда из равенства
[ AB+BF=AD+DF ]
следует равенство
[ AC+CF=AE+EF. ]
Иными словами, при выполнении одного из указанных равенств сумм длин автоматически выполняется второе.
В более симметричной записи, используемой в современной литературе, рассматриваются две тройки коллинеарных точек (A,B,B') и (A,C',C). Если прямые (BC) и (B’C') пересекаются в точке (D), то
[ AB+BD=AC'+C’D ]
тогда и только тогда, когда
[ AB'+B’D=AC+CD. ]
Эта форма приведена, в частности, в работе Моваффака Хаджи.
История Теорема связана с именем М. Л. Уркхарта, которому её приписывается в математической литературе XX века. Согласно приведённым Хаджей историческим сведениям, Уркхарт обнаружил результат при рассмотрении некоторых фундаментальных понятий специальной теории относительности.
В некрологе Уркхарта, на который ссылается Р. Т. Лесли, приводится его характеристика теоремы как «самой элементарной теоремы евклидовой геометрии»: в ней используются только понятия прямой и расстояния.
В 1976 году Дэн Педо опубликовал в журнале Mathematics Magazine статью The Most «Elementary» Theorem of Euclidean Geometry, посвящённую теореме Уркхарта, её доказательствам и связанным с ней геометрическим результатам.
Приоритет Уркхарта как автора результата является исторически неоднозначным. Согласно сведениям, приведённым в справочной литературе и работах по истории теоремы, соответствующее утверждение было известно до Уркхарта; в частности, доказательство, относящееся к этой теореме, было опубликовано Августом де Морганом в 1841 году. История происхождения теоремы рассматривается, в частности, М. А. Б. Дикином.
Поэтому в современной литературе Уркхарт рассматривается прежде всего как автор, заново обнаруживший и популяризировавший результат, тогда как его более раннее происхождение относится к математической литературе XIX века.
Доказательства Известно несколько доказательств теоремы Уркхарта. Они используют различные методы элементарной геометрии и тригонометрии.
В 2004 году Моваффак Хаджа опубликовал элементарное доказательство эквивалентности двух равенств, лежащих в основе теоремы. В статье также рассматривается вариант теоремы, обнаруженный Дэном Педо.
В том же направлении была опубликована работа Кеннета С. Уильямса, посвящённая формулировке и доказательству теоремы Уркхарта. В 1976 году Уильямс также рассмотрел вариант теоремы, сформулированный Педо.
В 2006 году Хаджа опубликовал ещё одно, более короткое доказательство теоремы.
Связанные результаты Теорема Уркхарта имеет несколько эквивалентных форм и геометрических интерпретаций. В частности, Педо обнаружил вариант, в котором теорема выражается посредством свойств окружностей и эллипсов.
В последующей литературе изучались различные обобщения теоремы и её связи с другими результатами евклидовой геометрии. Р. Т. Лесли в статье 2007 года рассмотрел теорему Уркхарта и ряд следствий из неё.
Примечания
Литература
Ссылки Urquhart’s Theorem — Wolfram MathWorld. An Elementary Proof of «the Most Elementary Theorem» of Euclidean Geometry — Journal for Geometry and Graphics. A theorem of M. L. Urquhart’s and some consequences — The Mathematical Gazette.
Категория:Теоремы евклидовой геометрии