Теория пластин Рейсснера — Миндлина — обобщение теории пластин Кирхгофа — Лява, учитывающее деформации поперечного сдвига по толщине пластины. Теория была предложена в 1951 году Рэймондом Миндлином.R. D. Mindlin, 1951, Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 18 pp. 31-38. Сходную, но не тождественную теорию для статического случая ранее предложил Эрик Рейсснер в 1945 году.E. Reissner, 1945, The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 12, pp. A68-77. Обе теории предназначены для толстых пластин, в которых нормаль к срединной поверхности остаётся прямолинейной, но не обязательно перпендикулярной к срединной поверхности. Теория Рейсснера — Миндлина используется для расчёта деформаций и напряжений в пластинах, толщина которых составляет порядка одной десятой их размеров в плоскости, тогда как теория Кирхгофа — Лява применима к более тонким пластинам.
Наиболее распространённая формулировка теории пластин Рейсснера — Миндлина фактически принадлежит Миндлину, и её правильнее называть теорией пластин Миндлина.Wang, C. M., Lim, G. T., Reddy, J. N, Lee, K. H., 2001, Relationships between bending solutions of Reissner and Mindlin plate theories, Engineering Structures, vol. 23, pp. 838—849. Теория Рейсснера несколько отличается от неё. Обе теории учитывают деформации сдвига в плоскости пластины и представляют собой обобщения теории пластин Кирхгофа — Лява с учётом сдвиговых эффектов первого порядка.
В теории Миндлина предполагается, что перемещения линейно изменяются по толщине пластины, а сама толщина при деформации остаётся постоянной. Кроме того, нормальным напряжением в направлении толщины пренебрегают; это допущение также называют условием плоского напряжённого состояния. В теории Рейсснера, напротив, предполагается линейное распределение напряжений изгиба и квадратичное распределение касательных напряжений по толщине пластины. В результате распределение перемещений по толщине не обязательно оказывается линейным, а толщина пластины может изменяться при деформации. Поэтому в статической теории Рейсснера условие плоского напряжённого состояния не используется.
Теорию Рейсснера — Миндлина часто называют сдвиговой теорией пластин первого порядка. Поскольку сдвиговая теория первого порядка предполагает линейное изменение перемещений по толщине, она несовместима с теорией пластин Рейсснера.
Теория Миндлина Первоначально теория Миндлина была выведена для изотропных пластин из условий равновесия. Здесь рассматривается более общая версия теории, основанная на энергетическом подходе.Reddy, J. N., 1999, Theory and analysis of elastic plates, Taylor and Francis, Philadelphia.
Принимаемое поле перемещений Согласно гипотезе Миндлина, перемещения в пластине имеют вид
Здесь и — декартовы координаты на срединной поверхности недеформированной пластины; — координата в направлении толщины; — перемещения срединной поверхности в её плоскости; — перемещение срединной поверхности в направлении ; и обозначают углы, которые нормаль к срединной поверхности образует с осью . В отличие от теории пластин Кирхгофа — Лява, в которой непосредственно связаны с , теория Миндлина не требует выполнения равенств и .
Соотношения между деформациями и перемещениями В зависимости от величины поворотов нормалей к пластине из основных кинематических допущений можно получить два различных приближения для деформаций.
При малых деформациях и малых поворотах соотношения между деформациями и перемещениями для пластин Миндлина — Рейсснера имеют вид
В этой теории деформацией поперечного сдвига и, следовательно, соответствующим касательным напряжением не пренебрегают. Однако деформация сдвига постоянна по толщине пластины. Такое распределение не может быть точным, поскольку известно, что даже для пластин простой геометрии распределение касательного напряжения имеет параболический вид. Для компенсации неточности распределения деформации сдвига вводится поправочный коэффициент сдвига , обеспечивающий правильное значение внутренней энергии в теории. Тогда
Уравнения равновесия Уравнения равновесия пластины Миндлина — Рейсснера при малых деформациях и малых поворотах имеют вид
Здесь — приложенная поперечная нагрузка; усилия в плоскости пластины определяются как
моменты — как
а поперечные силы — как
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align: left" ! Вывод уравнений равновесия
При малых деформациях и поворотах пластины вариация внутренней энергии имеет вид
Здесь усилия и моменты определяются аналогично соответствующим величинам для пластин Кирхгофа. Поперечная сила определяется как
Интегрирование по частям даёт
Из симметрии тензора напряжений следует, что и . Поэтому
В частном случае, когда к верхней поверхности пластины приложена сила на единицу площади , виртуальная работа внешних сил равна
Тогда из принципа возможных перемещений следует
Стандартные рассуждения вариационного исчисления приводят к уравнениям равновесия пластины Миндлина — Рейсснера:
Граничные условия Граничные условия определяются граничными членами в принципе возможных перемещений.
Если единственная внешняя сила — вертикальная сила, приложенная к верхней поверхности пластины, граничные условия состоят в задании одной из величин в каждой паре:
Соотношения между напряжениями и деформациями Для линейно-упругой пластины Миндлина — Рейсснера соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид
Поскольку не входит в уравнения равновесия, неявно предполагается, что это напряжение не влияет на баланс импульса, и им пренебрегают. Это допущение также называют гипотезой плоского напряжённого состояния. Остальные соотношения между напряжениями и деформациями для ортотропного материала можно записать в матричном виде:
Тогда
и
Для поперечных сил получаем
Жёсткости при растяжении определяются как
Изгибные жёсткости определяются как
Теория Миндлина для изотропных пластин Для однородных изотропных пластин постоянной толщины соотношения между напряжениями и деформациями в плоскости пластины имеют вид
Здесь — модуль Юнга, — коэффициент Пуассона, а — деформации в плоскости пластины. Напряжения и деформации поперечного сдвига связаны соотношениями
где — модуль сдвига.
Определяющие соотношения Связи между усилиями, моментами и обобщёнными деформациями имеют вид
и
Величина
называется изгибной жёсткостью, или модулем изгиба.
Для пластины толщиной изгибная жёсткость имеет вид
Далее во всех уравнениях обозначает полную толщину пластины, а не половину толщины, как в приведённых выше формулах.
Основные уравнения Если пренебречь растяжением пластины в её плоскости, основные уравнения принимают вид
Через обобщённые деформации эти уравнения можно записать следующим образом:
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align: left" ! Вывод уравнений равновесия через деформации
Записывая основные уравнения пластины Миндлина в развёрнутом виде, получаем
Учитывая соотношения
и объединяя три основных уравнения, находим
Введём величину
Тогда предыдущее уравнение можно записать как
Аналогично, используя связи между поперечными силами и деформациями, а также уравнение равновесия поперечных сил, получаем
Поскольку в задаче имеются три неизвестные функции — , и , — требуется третье уравнение. Его можно получить, дифференцируя выражения для поперечных сил и основные уравнения, записанные через моменты, а затем приравнивая полученные выражения. Результирующее уравнение имеет вид
Таким образом, три основных уравнения, выраженные через деформации, имеют вид
Граничные условия на краях прямоугольной пластины имеют вид
Связь с теорией Рейсснера Канонические определяющие соотношения сдвиговых теорий изотропных пластин можно записать в видеLim, G. T. and Reddy, J. N., 2003, On canonical bending relationships for plates, International Journal of Solids and Structures, vol. 40, pp. 3039-3067.These equations use a slightly different sign convention than the preceding discussion.
В этих уравнениях толщина пластины равна , а не , и . Если ввести момент Маркуса:
Тогда поперечные силы можно выразить следующим образом:
Совместно с основными уравнениями равновесия эти соотношения приводят к следующим каноническим уравнениям равновесия, выраженным через обобщённые перемещения:
где
В теории Миндлина — поперечное перемещение срединной поверхности пластины, а величины и — углы поворота нормали к срединной поверхности относительно осей и соответственно. Канонические параметры этой теории равны и . Поправочный коэффициент сдвига обычно принимается равным .
В теории Рейсснера, напротив, представляет собой взвешенное среднее значение поперечного прогиба, а и — эквивалентные углы поворота, не совпадающие с соответствующими величинами в теории Миндлина.
Связь с теорией Кирхгофа — Лява Определим сумму моментов в теории Кирхгофа — Лява как
Можно показать, что
где — бигармоническая функция, удовлетворяющая уравнению . Кроме того, если — перемещение, определяемое теорией пластин Кирхгофа — Лява, то
где — функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа . Углы поворота нормали связаны с перемещениями пластины Кирхгофа — Лява соотношениями
где
Примечания
Категория:Механика сплошных сред