Координатные и импульсные пространства в физике и геометрии рассматриваются как несколько тесно связанных векторных пространств, обычно трёхмерных, но в общем случае имеющих произвольную конечную размерность. Координатное пространство (также реальное пространство) — множество всех радиус-векторов в евклидовом пространстве, имеющих размерность длины, а радиус-вектор определяет точку в пространстве. Если радиус-вектор материальной точки изменяется со временем, её последовательные положения образуют траекторию. Импульсное пространство — множество всех векторов импульса , которые может иметь физическая система, и импульс частицы характеризует её движение и имеет размерность массы, умноженной на длину и делённой на время.
С математической точки зрения двойственность координатного и импульсного пространств является примером двойственности Понтрягина. В частности, если в координатном пространстве задана функция , то её преобразование Фурье даёт функцию в импульсном пространстве. Обратно, обратное преобразование Фурье функции в импульсном пространстве даёт функцию в координатном пространстве.
Эти величины и понятия используются во всей классической и квантовой физике. Физическую систему можно описывать через координаты составляющих её частиц или через их импульсы; оба описания эквивалентны и содержат одну и ту же информацию о рассматриваемой системе. При описании волн удобно ввести ещё одну величину — волновой вектор , имеющий размерность обратной длины. В этом отношении он аналогичен циклической частоте , имеющей размерность обратного времени. Множество всех волновых векторов образует пространство волновых векторов, или -пространство. Обычно радиус-вектор нагляднее и проще волнового вектора , однако в некоторых случаях, например в физике твёрдого тела, удобнее пользоваться волновым вектором.
Квантовая механика даёт два фундаментальных примера двойственности координаты и импульса: соотношение неопределённостей Гейзенберга , согласно которому координата и импульс не могут быть одновременно известны с произвольно высокой точностью, и соотношение де Бройля , устанавливающее пропорциональность импульса и волнового вектора свободной частицы. В этом контексте термины «импульс» и «волновой вектор» употребляются взаимозаменяемо, если это не приводит к неоднозначности. Однако в кристалле соотношение де Бройля не выполняется.
Классическая механика
Лагранжева механика
В лагранжевой механике лагранжиан чаще всего задают в конфигурационном пространстве, где — упорядоченный набор из обобщённых координат. Уравнения движения Эйлера — Лагранжа имеют вид
Точка над величиной обозначает её производную по времени. Введём канонический импульс, соответствующий каждой обобщённой координате:
Тогда уравнения Эйлера — Лагранжа принимают вид
Лагранжиан можно также выразить в импульсном пространстве в виде , где — упорядоченный набор из обобщённых импульсов. Для замены переменных в полном дифференциале лагранжиана, заданного в пространстве обобщённых координат, выполняют преобразование Лежандра:
Здесь частные производные заменены с помощью определения обобщённого импульса и уравнений Эйлера — Лагранжа. Правило дифференцирования произведенияДля двух функций и дифференциал произведения равен . позволяет перейти от дифференциалов обобщённых координат и скоростей к дифференциалам обобщённых импульсов и их производных по времени:
После подстановки и перегруппировки получаем
Полный дифференциал лагранжиана в импульсном пространстве имеет вид
Сравнивая дифференциалы лагранжианов и коэффициенты при дифференциалах импульсов и их производных по времени, находим лагранжиан и выражения для обобщённых координат и скоростей:
Объединение последних двух равенств даёт уравнения Эйлера — Лагранжа в импульсном пространстве:
Преимущество преобразования Лежандра состоит в том, что в ходе его выполнения устанавливается связь между исходными и новыми функциями и их переменными. Координатная и импульсная формы уравнения эквивалентны и содержат одну и ту же информацию о динамике системы. Импульсная форма может быть удобнее, когда в лагранжиан входит импульс или момент импульса.
Гамильтонова механика
В гамильтоновой механике, в отличие от лагранжевой механики, использующей либо координаты, либо импульсы, уравнения движения рассматривают координаты и импульсы на равных основаниях. Для системы с гамильтонианом эти уравнения имеют вид
Квантовая механика
В квантовой механике частица описывается квантовым состоянием. Его можно представить как суперпозицию базисных состояний. В принципе набор базисных состояний можно выбирать произвольно при условии, что они порождают всё пространство состояний. Если в качестве базисных функций выбраны (обобщённые) собственные функции оператора координаты, состояние описывается волновой функцией в координатном пространстве. Обычное уравнение Шрёдингера, записанное через координату , представляет собой пример использования координатного представления в квантовой механике.
Выбирая в качестве базисных функций собственные функции другого оператора, можно получить различные представления одного и того же состояния. Если выбраны собственные функции оператора импульса, полученную функцию называют волновой функцией в импульсном пространстве.
Особенностью квантовой механики является существование фазовых пространств разных типов: с дискретными переменными, роторных и с непрерывными переменными. В приведённой ниже таблице обобщены некоторые соотношения для этих трёх типов фазовых пространств.
Взаимосвязь представлений
Импульсное представление волновой функции и соотношение де Бройля тесно связаны с теоремой обращения преобразования Фурье и понятием частотной области. Поскольку свободная частица имеет пространственную частоту , пропорциональную импульсу , представление частицы в виде суммы частотных составляющих эквивалентно её описанию посредством преобразования Фурье «достаточно регулярной» волновой функции в импульсном пространстве.
Координатное пространство
Пусть задана трёхмерная волновая функция в координатном пространстве. Её можно записать как взвешенную сумму ортогональных базисных функций :
или, в непрерывном случае, как интеграл:
Если набор функций задан, например выбран как набор собственных функций оператора импульса, то функция содержит всю информацию, необходимую для восстановления , и, следовательно, представляет собой альтернативное описание состояния .
В координатном представлении оператор импульса имеет вид
с соответствующей областью определения; используемая запись производной рассматривается в матричном исчислении. Его собственные функции имеют вид
а собственные значения равны . Следовательно,
Таким образом, импульсное и координатное представления связаны преобразованием Фурье.
Импульсное пространство
Обратно, трёхмерную волновую функцию в импульсном пространстве можно выразить как взвешенную сумму ортогональных базисных функций :
или как интеграл:
В импульсном представлении оператор координаты имеет вид
Его собственные функции равны
а собственные значения — . Поэтому аналогичное разложение по собственным функциям этого оператора даёт обратное преобразование Фурье:
Унитарная эквивалентность Операторы координаты и импульса унитарно эквивалентны, причём соответствующий унитарный оператор явно задаётся преобразованием Фурье — поворотом в фазовом пространстве на четверть периода, порождаемым гамильтонианом осциллятора. Следовательно, эти операторы имеют одинаковый спектр. На языке физики действие на волновые функции в импульсном пространстве соответствует действию на волновые функции в координатном пространстве при отображении, задаваемом преобразованием Фурье.
Обратное пространство и кристаллы
Для электрона или другой частицы в кристалле величина почти всегда связана с квазиимпульсом, а не с обычным импульсом. Поэтому и не являются просто пропорциональными величинами, а играют разные роли; примером служит метод . Квазиимпульс подобен огибающей волны: он описывает изменение волны при переходе от одной элементарной ячейки к другой, но не содержит информации о её изменении внутри каждой ячейки.
Когда связано с квазиимпульсом, а не с истинным импульсом, понятие -пространства сохраняет смысл и остаётся чрезвычайно полезным, однако такое пространство в ряде отношений отличается от рассмотренного выше случая без кристаллической решётки. Например, в -пространстве кристалла существует бесконечное множество точек, образующих обратную решётку и «эквивалентных» точке ; это аналогично алиасингу. Аналогично, «первая зона Бриллюэна» представляет собой область конечного объёма в -пространстве, такую, что каждому возможному «эквивалентна» ровно одна точка этой области.
Примечания
Литература
Категория:Импульс Категория:Квантовая механика