Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.
Определение
Диффеоморфизм — взаимно однозначное и гладкое отображение гладкого многообразия в гладкое многообразие , обратное к которому тоже является гладким.
Обычно под гладкостью понимается -гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, в частности, класса при любом натуральном .
Примеры
Простейшими примерами диффеоморфизмов являются невырожденные линейные (аффинные) преобразования векторных (соответственно, аффинных) пространств одинаковой размерности.
Связанные определения Если для и существует диффеоморфизм , то говорят, что и диффеоморфны. Обычно это отношение обозначается . Заметим, что диффеоморфными могут быть только многообразия одинаковой размерности.
Множество диффеоморфизмов многообразия в себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов и обозначаемую .
Отображение называется локальным диффеоморфизмом в точке если его сужение на некоторую окрестность точки является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки .
Свойства Любой диффеоморфизм является гомеоморфизмом. Обратное неверно. Более того, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия (например, экзотическая сфера). Взаимно однозначное отображение является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда — гладкое отображение и его якобиан нигде не равен нулю.
См. также Гомеоморфизм
Литература
Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание. Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Математический анализ