Дифференциальная алгебра — теория, в которой дифференциальные уравнения изучаются посредством общеалгебраических структур — колец, полей и алгебр над полем — снабжаемых дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной , операции дифференцирования соответствует дифференцирование по .
Разработана Джозефом Риттом (1950) и его учеником Ritt, Joseph Fels (1950). Differential Algebra. New York: AMS Colloquium Publications (volume 33)., в связи с чем фигурирует также как теория Ритта — Колчина (для того чтобы отличать от дифференциальной алгебры в широком смысле — изучения феномена дифференцирования средствами общей алгебры, например, такими как алгебры Ли, алгебры Вейля, кэлеровы дифференциалы, -модули).
Определения Дифференциальное кольцо — кольцо , снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями): , удовлетворяющими правилу произведения:
для любых . (В некоммутативном кольце правило может не выполняться.) В безындексной форме записи: если — умножение в кольце, то правило произведения примет вид:
где — отображение пары в пару .
Дифференциальное поле — это поле , снабжённое дифференцированием, которое должно подчиняться правилу Лейбница в форме:
(так как умножение в поле коммутативно) и также должно быть дистрибутивно относительно сложения:
Полем констант дифференциального поля называется .
Дифференциальной алгеброй над полем называется -алгебра , в которой дифференцирования коммутируют с полем, то есть для любых и : . В безындексной форме записи: если — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то:
Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых и :
и .
Дифференцирование алгебры Ли — линейное отображение , удовлетворяющее правилу Лейбница: .
Для любого оператор — дифференцирование на , что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.
Примеры Если — алгебра с единицей, то , так как . Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.
Любое поле можно рассматривать как поле констант.
В поле существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством : из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по . Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что: .
В дифференциальном поле нет решения дифференциального уравнения , но можно расширить его до поля, содержащего функцию , имеющего решение этого уравнения.
Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.
Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.
Кольцо псевдодифференциальных операторов Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:
.
Умножение в этом кольце определяется как: ,
где — биномиальный коэффициент. Имеет место тождество:
следующее из: и .
Градуированное дифференцирование Для градуированной алгебры однородное линейное отображение () называется однородной производной, если () при действии на однородные элементы . Градуированная производная — сумма однородных производных с одинаковым . Если , определение совпадает с обычным дифференцированием.
Если , то , для нечётных . Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.
Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.
Градуированные производные супералгебр (то есть -градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.
Примечания
Литература Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, — Hermann (1994). И. Капланский Дифференциальная алгебра, — Hermann (1957). Е. Колчин Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, — 1973. Д. Маркер Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996). А. Магид Лекции по дифференциальной теории Галуа, — Американское мат. общество, 1994. Домашняя страница Давида Маркера содержит несколько статей о дифференциальных полях.
Категория:Дифференциальная алгебра