Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и -мерного объёма в -мерном евклидовом пространстве.
Определение Меру Жордана можно определить как единственную конечно-аддитивную меру, определённую на кольце многогранников и удовлетворяющую следующим условиям: Меры конгруэнтных многогранников равны. Мера единичного куба равна единице.
Максимальное кольцо множеств, на которое мера Жордана продолжается единственным образом, называется кольцом квадрируемых множеств.
Построение
Мера Жордана параллелепипеда в определяется как произведение
Для ограниченного множества определяются: внешняя мера Жордана
внутренняя мера Жордана , если здесь — параллелепипеды описанного выше вида.
Множество называется измеримым по Жордану (или квадрируемым), если . В этом случае мера Жордана равна .
Свойства
Множества, измеримые по Жордану, образуют кольцо, на котором мера Жордана является конечно-аддитивной мерой. Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства. Множество измеримо по Жордану, если для любого существует пара многогранников и таких, что и . Ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет нулевую меру Жордана (или, что равносильно, когда его граница имеет нулевую меру Лебега). В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа гладких кривых и точек, измеримы по Жордану. Тем не менее существуют множества, ограниченные простой замкнутой кривой Жордана, которые не измеримы по Жордану. Внешняя мера Жордана одна и та же для и (замыкания множества ) и равна мере Бореля .
История Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.
Пример множества, неизмеримого по Жордану Рассмотрим меру Жордана , определённую на . Пусть — множество точек единичного отрезка., — подмножество рациональных точек множества , тогда — неизмеримое по Жордану множество, так как , то есть верхняя и нижняя мера Жордана не совпадают (хотя это множество измеримо по Лебегу).
Литература
Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 3; Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887; Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;
См. также Мера множества Мера Лебега Мера Хаусдорфа Мера Бореля
Категория:Евклидова геометрия Категория:Теория меры