Дуальное число (гиперкомплексное число параболического типа) — гиперкомплексное число вида , где и — вещественные числа, а — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю, но сам он нулю не равен. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел и . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел . В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид . Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.
Иногда дуальные числа называют двойными числами, хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.
Определения
Алгебраически дуальное число задаётся как пара вещественных чисел вида , для которых определены операции умножения и сложения по правилам:
Числа вида отождествляются при этом с вещественными числами, а число обозначается , после чего определяющие тождества примут вид:
В терминах структур это означает, что кольцо дуальных чисел есть факторкольцо кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом .
Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим . Тогда произвольное дуальное число примет вид .
Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство: , что позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:
При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:
Операции Арифметические операции над дуальными числами вводятся следующим образом: сложение: , вычитание: , умножение: , деление: .
Корень -й степени из числа вида определяется как .
Дифференцирование Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Область определения аналитической функции можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел, при этом имеет место соотношение:
.
Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.
Существует аналогия между дуальными числами и числами нестандартного анализа: мнимая единица кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа — любая степень (выше первой) в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Таким образом, если — бесконечно малое число, то с точностью до кольцо гипервещественных чисел вида изоморфно кольцу дуальных чисел.
Примечания
Литература И. М. Яглом Комплексные числа и их применение в геометрии. М.:Физматлит, 1963. 192 с. V. V. Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024
Категория:Дифференциальная алгебра Категория:Гиперкомплексные числа