Теорема Киршбрауна о продолжении (иногда называется теорема Валентайн) — теорема о существовании продолжения липшицевой функции определённой на подмножестве евклидова пространства на всё пространство.
Формулировка
Пусть произвольное подмножество евклидова пространства , тогда произвольное короткое отображение можно продолжить до короткого отображения ; иначе говоря, существует короткое отображение такое, что .
Вариации и обобщения
Естественно обобщается на Отображения из подмоножества гильбертова пространства в гильбертово пространство. Отображения из подмоножества пространства Лобачевского в пространство Лобачевского той же кривизны Аналогичный результат для отбражений между сферами не верен, однако теорема остаётся верной для Отображения из подмоножества сферы в полусферу той же кривизны. Отображения из подмоножества сферы в сферу той же кривизны не меньшей размерности. Аналогичный результат для банаховых пространств неверен. Метрическая геометрия Обобщение теоремы Киршбрауна на метрические пространства дано Лэнгом и ШрёдеремLang, U.; Schroeder, V. Kirszbraun's theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7 (1997), no. 3, 535–560.Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov meets Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011. Любое короткое отображение определённое на подмножестве произвольного метрического пространства со значениями в инъективном пространстве допускает короткое продолжение на всё пространство. Это даёт другое обобщение теоремы на метрические пространства. К инъективным пространствам относятся вещественная прямая и метрические деревья а также -пространства. Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если — метрическое пространство со свойством удвоения и и — банахово пространство, то любое -Липшицево отображение продолжается до -Липшицева отображения , где константа зависит только от параметра в свойстве удвоения.4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
История
Была доказана в диссертации Мойжеша Киршбрауна (защищена в 1930)M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math., (22):77-108, 1934.. Позже эту теорему передоказал Фредерик ВалентайнF. A. Valentine, "On the extension of a vector function so as to preserve a Lipschitz condition, "Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, pp. 100—108, 1943..
См. также
Теорема Титце о продолжении
Примечания
Киршбрауна Категория:Метрическая геометрия Категория:Александровская геометрия